Cómo calcular $S^{(2)}(E / \mathbb{Q}))$ de $S^{(\phi)} (E/ \mathbb{Q})$ y $S^{(\hat \phi)} (E'/ \mathbb{Q})$?

Question

Estoy viendo el ejemplo 4.10 (del capítulo X) del libro de Silverman "La aritmética de las curvas elípticas" 2ª edición, que trata sobre Descenso a través de dos isogenias (proposición 4.9). El ejemplo es sobre computación$E(\mathbb{Q}) / 2 E(\mathbb{Q})$ para la curva $$ E: y^2 = x^3 - 6x^2 +17x .$$ La curva que es $2$-isogeno a $E$ es $$ E' : Y^2 = X^3 + 12X^2 - 32X .$$

Tenemos la isogenia habitual $\phi: E \to E'$ y doble isogenia $\hat \phi : E' \to E$ con $\hat \phi \circ \phi = 2$ (las fórmulas exactas se definen en la proposición 4.9).

Él calcula que $S^{(\phi)} (E/ \mathbb{Q}) = \{ \pm 1, \pm 2\}$ y $S^{(\hat \phi)} (E'/ \mathbb{Q}) = \{ 1, 17 \}.$

Me gustaría calcular el $2$-Grupo vendedor $S^{(2)}(E / \mathbb{Q})$y, por lo que tengo entendido, necesito combinar las dos informaciones anteriores de alguna manera (similar a cómo se pueden combinar $E'(\mathbb{Q}) / \phi ( E(\mathbb{Q}))$ y $E(\mathbb{Q}) / \hat \phi (E' (\mathbb{Q}))$ Llegar $E(\mathbb{Q}) / 2E(\mathbb{Q}))$. ¿Alguien podría explicar cómo puedo hacer esto?

PD: Me siento bastante abrumado por este libro en general, así que si me he equivocado, hágamelo saber.

Answer 1

En su ejemplo, la información relevante que necesita es la observación X.4.7 y el hecho de que $$E'(\mathbb{Q}) / \phi ( E(\mathbb{Q}))=S^{(\phi)} (E/ \mathbb{Q})=\{ \pm 1, \pm 2\} \text{ and } E(\mathbb{Q}) / \hat \phi (E' (\mathbb{Q}))=S^{(\hat \phi)} (E'/ \mathbb{Q})=\{ 1, 17 \},$$ dado que los grupos Tate-Shafarevich relevantes son triviales, la identificación a través de $x$-coordinate "(excepto para los dos puntos de torsión $(0,0)$).

Entonces tenemos la observación X.4.7 que dice que $$ E'(\mathbb Q)[\hat \phi]/\phi(E(\mathbb Q)[2])\to E'(\mathbb Q)/\phi(E(\mathbb Q)) \to E(\mathbb Q)/2E(\mathbb Q) \to E(\mathbb Q)/\hat \phi (E'(\mathbb Q)) \to 0$$ es exacta, siendo el segundo morfismo $\phi$.

Ahora, $$E'(\mathbb Q)/\hat \phi(E(\mathbb Q)) =\langle\ \overline{(0,0)}\ , \ \overline{(8,-32)}\ \rangle$$ y el mapa $\phi$ envía $(0,0)$ a $0$ (el punto en el infinito) (esto es, por supuesto, general, ya que $\phi$ es el envío de 2-isogenia $(0,0)$ a $0$) y envía $(8,-32)$ a un elemento $\phi(8,-32)$no $2$-torsión (que te dejé calcular).

Entonces $$S^{(2)}(E/\mathbb Q)=E(\mathbb Q)/2E(\mathbb Q) =\langle\ \overline{\phi(8,-32)}\ , \ \overline{(0,0)}\ \rangle.$$ Ahora puede utilizar la descripción que desee de los elementos de $S^{(2)}(E/\mathbb Q)$.

Editar : en el caso general, existe una secuencia exacta natural$$\to S^{(\phi)} (E/ \mathbb{Q}) \to S^{(2)}(E/\mathbb Q) \to S^{(\hat \phi)} (E'/ \mathbb{Q}) \to 0$$ pero no estoy seguro de qué poner en el lado izquierdo.

Una forma posible de comprender esta secuencia es observar que $S^{(2)}(E/\mathbb Q)$ es el grupo de revestimientos Galois sin ramificar de $E$ con el grupo Galois "$E[2]$"(y con puntos localmente en todas partes), y la 2-isogenia proviene de un $\mathbb Z/2\mathbb Z \subset E[2]$: el mapa $ S^{(2)}(E/\mathbb Q) \to S^{(\hat \phi)} (E'/ \mathbb{Q}) $ corresponde al mapa "fijado por el $\mathbb Z/2\mathbb Z$", como en la teoría de campos habitual de Galois.

El mapa $S^{(\phi)} (E/ \mathbb{Q}) \to S^{(2)}(E/\mathbb Q)$ corresponde a ver cada cubierta de Galois sin ramificar $\psi:D\to E'$ de $E'$ con el grupo Galois $\mathbb Z/2\mathbb Z$ a una cubierta de Galois de $E$ vía $\phi$, es decir $\phi\circ \psi:D\to E'\to E$.