Cómo demostrar que la EDO es separable

Question

Tengo una EDO: $$xy'= y+2x^3 \sin\big(\frac{y}{x}\big)^2.$$Tengo que demostrar que esto es separable. He introducido una función u = y/x. Luego usando DivideSidesy Simplifyobtuve la siguiente ecuación:$$(ux)'= u+2x^2 \sin\big(\frac{y}{x}\big)^2.$$

Ahora tengo que usar la regla del producto para el lado izquierdo de la ecuación y obtener una forma de EDO separable. ¿Cómo puedo hacer eso?

Answer 1

Por qué no

1. Sustituir $u=y/x$ programáticamente:

   x y'[x] == y[x] + 2 x^3*Sin[y[x]/x]^2 /. y -> Function[x, u[x] x] // FullSimplify
   

$$2 x^2 \sin ^2(u(x))=x u'(x)$$

1. Exprese la derivada en la notación de Leibniz (puede seleccionar la salida y presionar Ctrl+ Shift+ Tpara transformar a bonita TraditionalForm):

   % /. {u[x] -> u, u'[x] -> Dt[u]/Dt[x]}
   

$$2 x^2 \sin ^2(u)=\frac{x du}{dx}$$

1. Multiplica ambos lados:

    MultiplySides[%, Dt[x]/x/Sin[u]^2, Assumptions -> Dt[x]/x/Sin[u]^2 != 0]
   

$$2 x dx=\csc ^2(u)du$$