¿Cómo encontrar un vector normal de un vector?

Question

Problema

Encuentra el vector normal $\bf{N}$ a $\bf{r}(t)=\langle t,\cos t \rangle$ a $t=\frac{9\pi}{4}.$
(Utilice notación simbólica y fracciones cuando sea necesario).
Comentarios: recuerde que el vector normal de$\bf{r}(t)$ es $\bf{T'}(t),$ dónde $\bf{T}(t)=\frac{\bf{r'}(t)}{||\bf{r'}(t)||}$ es un vector unitario tangente.

¿Cómo encuentro este vector normal? Así que básicamente hice lo que decían los comentarios. Encontré la derivada de cada función en el vector y obtuve.

$$(1, -\sin(t))$$

Entonces obtuve la magnitud:

$$\sqrt{1+\sin^2\left(\frac{9\pi \:}{4}\right)}$$

Luego dividí todo en mi vector por esa magnitud mientras ponía $$\frac{9\pi }{4}$$ al igual que:

$$\frac{-\sin\left(\frac{9\pi }{4}\right)}{\sqrt{1+\sin^2\left(\frac{9\pi \:}{4}\right)}}$$

Cual es mi problema? Gracias. Esta es mi respuesta:

$$\left\langle\sqrt{\frac{2}{3}},-\frac{\sqrt{3}}{3}\right\rangle$$

Answer 1

El vector unitario tangente es $$T(t)=(\frac{1}{\sqrt{1+\sin^2(t)}},-\frac{\sin(t)}{\sqrt{\sin^2(t)+1}})$$

Entonces, el vector normal de $r(t)$ es $$T'(t)=(-\frac{\sqrt{2}\sin(2t)}{({3-\cos(2t)})^{\frac{3}{2}}},-\frac{\cos(t)}{(1+\sin^{2}(t))^{\frac{3}{2}}})$$

Ahora deja $t=\frac{9\pi}{4}$ y deberías conseguir $$T'(\frac{9\pi}{4})=(-\frac{\sqrt{6}}{9},-\frac{2\sqrt{3}}{9}).$$