Cómo entender la órbita de tamaño $1$en este caso

Question

Soy un principiante autodidáctico en teoría de grupos, así que tenga paciencia con esta pregunta que podría tener algunas respuestas simples. Dado un$p$-grupo$G$por alguna prima$p$, dejar$H$ser un subgrupo de$G$. Dejar$X$sea ​​el conjunto de todos los conjugados de$H$.

Ahora,$H$actúa sobre$X$por conjugación. Leí que hay al menos$p$órbitas de tamaño$1$en$X$.

Un ejemplo de una órbita con tamaño$1$es$\{H\} \in X$. Este ejemplo se sigue desde$aHa^{-1}=H$para cualquier$a \in H$ya que$H$es un subgrupo y tenemos$\text{Orb}(H)=H$.

Pero leí eso desde$p$es primo, que hay al menos$p-1$otras órbitas de tamaño$1$. Así que debería haber otra órbita.$gHg^{-1} \neq H$de tamaño$1$en$X$.

lo que no entiendo es como$gHg^{-1}$podría ser de tamaño$1$bajo la acción de$H$. ¿No debería esto significar que$\text{Orb}(gHg^{-1})=\{agHg^{-1}a^{-1} | a \in H\}$y$\text{Orb}(gHg^{-1})$no necesariamente puede ser igual a$gHg^{-1}$. Sin embargo, debe tener un tamaño$1$, Lo que significa que$\text{Orb}(gHg^{-1})$de hecho debe ser igual a$gHg^{-1}$.

Como referencia, este resultado provino del Teorema 4.6 de Rotman, donde no se impusieron condiciones adicionales a$H$y$G$excepto eso$H$es un subgrupo del$p$-grupo$G$... ¿Que me estoy perdiendo aqui?

Answer 1

Lo primero a tener en cuenta es que si$|X| = 1$entonces no tendremos$p-1$otras órbitas por lo que también tendremos que asumir$|X| \gt 1$.

Usaremos estas dos propiedades de las órbitas para probar nuestra afirmación:

1. Las órbitas son disjuntas y su unión es el conjunto completo.$X$(esto debería ser fácil de ver).

2. El tamaño de la órbita divide el orden del grupo (esto se demuestra en el teorema del estabilizador de órbita)

Por propiedad (1) tenemos que$$|X| = \sum_{Y \in \mathcal{O}} |Y|$$donde$\mathcal{O}$es el conjunto que contiene todas las órbitas de la acción. ahora nos separamos$\mathcal{O}$en dos subconjuntos disjuntos:$\mathcal{O'}$y$\mathcal{O''}$donde$\mathcal{O'}$es el conjunto de todas las órbitas de tamaño$1$y$\mathcal{O''}$es el conjunto de todas las órbitas de tamaño mayor que$1$. Esto significa$$|X| = \sum_{Y' \in \mathcal{O'}} |Y'| + \sum_{Y'' \in \mathcal{O'}} |Y''| = |\mathcal{O'}| + \sum_{Y'' \in \mathcal{O'}} |Y''|$$ya que$|Y'| = 1$. Por la propiedad (2) sabemos que$|Y''|$divide$|X| = p^n$y$|Y''| > 1$Lo que significa que$|Y''| = p^k$donde$k > 1$lo que significa$p$divide$|Y''|$. podemos ver$X$como una órbita donde la acción del grupo es la conjugación por el grupo$G$. Esto significa que$|X|$divide$|G| = p^n$. Ya que$|X| > 1$tenemos eso$p$divide$|X|$. Ya que$|X| = |\mathcal{O'}| + \sum_{Y'' \in \mathcal{O'}} |Y''|$,$p$también tiene que dividir$|\mathcal{O'}|$lo que significa$|\mathcal{O'}| = pm$para algunos$m \gt 1$lo que significa$|\mathcal{O'}| \geq p$que es lo que estábamos tratando de probar.