Cómo resolver $\cos x-\sin 3x=\cos 2x$?

Question

Mi intento:

$$\begin{align} (\cos x- \cos 2x) - \sin 3x &= 0 \\ 2\sin \frac{3x}{2}\sin \frac{x}{2} - 2 \sin \frac{3x}{2}\cos \frac{3x}{2}&=0\\ \sin\frac{3x} {2} \left(\sin\frac{x} {2} - \cos\frac{3x} {2}\right)&=0 \end{align}$$

Ahora tampoco $\sin\frac{3x} {2} = 0$ o $\left(\sin\frac{x} {2} - \cos\frac{3x} {2}\right)=0$. Resolviendo el primero,$$\frac{3x}{2}=n\pi\rightarrow x = \frac{2n\pi}{3}$$

Como puedo resolver $\left(\sin\frac{x} {2} - \cos\frac{3x} {2}\right)=0$? Conozco las identidades elementales que involucran razones trigonométricas, pero no números complejos o cálculo.

Answer 1

Tenemos $\sin\frac12x=\cos\frac32x=\sin(\frac12\pi-\frac32x)$. La solución general a esto es$$\tfrac12x=n\pi+(-1)^n(\tfrac12\pi-\tfrac32x)\quad (n\in\Bbb Z).$$Los casos de pares o impares $n$ luego da lugar a dos conjuntos de soluciones:$$x=(k+\tfrac14)\pi\quad\text{or}\quad x=(2k-\tfrac12)\pi\quad(k\in\Bbb Z).$$

Answer 2

Creo que puedes usar el hecho de que $\sin(x) = \cos(\frac{\pi}{2}-x)$ para traducir la ecuación a una que involucre solo senos (o cosenos) en ambos lados, y luego comparar directamente.

Answer 3

Esta es una ecuación elemental $\cos a=\cos b$ encubierto: solo considera eso $\sin a=\cos(\pi/2-a)$. Así obtienes$$ \cos\Bigr(\frac{\pi}{2}-\frac{x}{2}\Bigr)=\cos\frac{3x}{2} $$ y obtienes las dos familias de soluciones $$ \frac{3x}{2}=\frac{\pi}{2}-\frac{x}{2}+2n\pi \qquad\text{or}\qquad \frac{3x}{2}=-\frac{\pi}{2}+\frac{x}{2}+2n\pi $$