Composición de la Continuidad [Topología]

Question

Estoy tratando de probar la declaración que hice yo mismo.

Hay tres espacios topológicos, $(X_1, T_1)$, $(X_2, T_2)$ y $(X_3, T_3)$. Poner$G_i$ ser un conjunto abierto de cada uno $(X_i, T_i)$

Di el $f: (X_1, T_1) \to (X_2, T_2)$ y $g: (X_2, T_2) \to (X_3, T_3)$

Entonces, ¿se cumple la siguiente declaración?

Declaración) Ambos $f$ y $g$ son continuos $\iff $ $g\circ f : (X_1, T_1) \to (X_3, T_3)$ es continuo.

En el caso de la dirección "$\Rightarrow$"

$g\circ f$ es continuo porque $f^{-1}(G_1) \in T_1$ y $f^{-1}(G_2) \in T_2$ para $\forall G_1, G_2$

Así que fácilmente podría concluir el $(g\circ f)^{-1} (G_3) \in T_1$ (Es decir, continuo)

Pero el caso de la dirección opuesta "$\Leftarrow$", No he captado ni idea que lo pruebe ni ningún contraejemplo.

Cualquier ayuda será apreciada, gracias.

Answer 1

La respuesta es "no", incluso cuando $g=f$. Considerar$\mathbb{R}$ con la topología euclidiana y

$$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$ $$f(x)=\begin{cases} 1 &\text{if }x\geq 0 \\ 0 &\text{otherwise} \end{cases}$$

y nota que $f$no es continuo. Pero$f(f(x))=1$ para cualquier $x\in\mathbb{R}$ y por lo tanto $f\circ f$ es continuo.

Dejo como ejercicio (modificando este ejemplo) que $g\circ f$ ser continuo no dice nada sobre la continuidad de ninguno $g$ ni $f$.

Answer 2

Como dijo @Kavi Rama Murthy en commnet, puedes ver $(g \circ f)$ puede ser continuo ignorando $f$, Si $g$ sea ​​constante.

Para otro ejemplo, considere $(X_1,T_1)$ con topología discreta, entonces $(g \circ f)$ se vuelve continuo ignorando $g$.