Conexión en paquete pullback.

Question

Dejar $E\to N$ ser un paquete de vectores y $f:M\to N$Sea un mapa fluido. El retroceso$f^*:\Omega^k(N,E)\to \Omega^k(M,f^*E)$ entonces se define por $$(f^*\omega)_x(v_1,...,v_k)=\omega_{f(x)}((df)_x(v_1),...,(df)_x(v_k))$$ con $x\in M$ y $v_1,...,v_k\in T_xM$.

Primera pregunta : ¿cómo puedo reescribir este retroceso como un mapa?$f^*\omega:\mathfrak{X}(M)\times...\times \mathfrak{X}(M)\to \Gamma(M,f^*E)$? Mi problema es que$df:\mathfrak{X}(M)\to \mathfrak{X}(N)$ está bien definido siempre que $f$es un difeomorfismo. Sin embargo,$df:\mathfrak{X}(M)\to \Gamma(M,f^*TN)$ en realidad está bien definido.

Entonces, sé que la conexión $f^*\nabla$ en $f^*E\to M$ está determinado únicamente por $$(f^*\nabla)(f^*s):=f^*(\nabla(s))\in \Omega^1(M,f^*E)$$

Segunda pregunta: en algunos libros, vi la notación$$(f^*\nabla)_X(f^*s)=f^*(\nabla_{df(X)}(s))=\nabla_{df(X)}(s)\circ f$$ pero mientras $f$ no es un difeomorfismo $df(X)$ no es un campo vectorial en $N$ entonces no tiene sentido escribir $\nabla_{df(X)}$. ¿Como puedó resolver esté problema?

Answer 1

Para escribir el retroceso globalmente como un mapa de módulos, necesita dividir la construcción en dos partes. Para que todo sea menos confuso, déjame denotar por$f^{\star}(E)$ el paquete de retroceso y denotar por $\mathfrak{X}_f(M) = \Gamma(M,f^{\star}(TN))$ campos vectoriales a lo largo $f$. Por tanto, los mapas y construcciones que implican$\star$ no tienen nada que ver con la derivada mientras que los mapas que involucran $*$incluir la derivada. Ahora,

1. Dada una forma $\omega \in \Omega^k(N,E)$, obtenemos un elemento $f^{\star}(\omega) \in \Gamma \left( \operatorname{Alt}^k \left( f^{\star}(TN), f^{\star}(E)\right) \right)$ dada por $$ f^{\star}(\omega)|_p \left( \xi_1, \dots, \xi_k \right) = \omega_{f(p)} \left( \xi_1, \dots, \xi_k \right)$$ dónde $\xi_i \in \mathfrak{X}_f(M)$ son campos vectoriales a lo largo $f$ de modo que $\xi_i(p) \in T_{f(p)}N$y la fórmula tiene sentido. Globalmente, esto corresponde a un mapa alterno de$C^{\infty}(M)$-módulos $$f^{\star}(\omega) \colon \mathfrak{X}_f(M) \times \dots \mathfrak{X}_f(M) \rightarrow \Gamma(f^{\star}(E)).$$
2. Además, tienes el mapa $df \colon \mathfrak{X}(M) \rightarrow \mathfrak{X}_f(M)$. Entonces$$ f^{*}(\omega)(X_1, \dots, X_k) = f^{\star}(\omega)(df(X_1), \dots, df(X_k)). $$

Respecto a la segunda pregunta, la fórmula $$ f^{*}(\nabla)_{X}(f^{\star}(s)) = \nabla_{df(X)}(s) \circ f $$ debe entenderse localmente como $$ \left( f^{*}(\nabla)_{X}(f^{\star}(s)) \right)|_{p} = \left( \nabla_{df|_{p}(X)}(s) \right) \textrm{ (at }f(p)\textrm{)}.$$ Tiene sentido incluso cuando $f$ no es un difeomorfismo como conexión $\nabla_X(s)$ es tensorial en el $X$variable. También puede comprender la fórmula globalmente dividiendo la construcción de la conexión de retroceso en dos partes:

1. Hay un mapa $f^{\star}(\nabla) \colon \mathfrak{X}_f(M) \times \Gamma(E) \rightarrow \Gamma(f^{\star}(E))$ dada por $$ \left( f^{\star}(\nabla)_{\xi} \right)(s)|_{p} = \left( \nabla_{\xi(p)} s \right)|_{f(p)}. $$
2. La conexión de retroceso $f^{*}(\nabla)$ es la conexión única $f^{*}(\nabla) \colon \mathfrak{X}(M) \times \Gamma(f^{\star}(E)) \rightarrow \Gamma(f^{\star}(E))$ que satisface $$ f^{*}(\nabla)_{X}(f^{\star}(s)) = f^{\star}(\nabla)_{df(X)}(s). $$