Continuidad de Hölder del cálculo funcional

Question

Dejar $0<\beta<1$ y $ f \colon [0,1] \to [0,1]$ ser $\beta$ Hölder continuo con constante $C$. Dejar$H$ ser un espacio de Hilbert y $A,B$ ser operadores autoadjuntos en $H$, tal que $\sigma(A+B),\sigma(A) \subset [0,1]$. Entonces podemos definir$f(A+B)$ y $f(B)$por el cálculo funcional continuo. ¿Tenemos entonces la estimación?$$ \left \lvert \operatorname{tr} (f(A+B)-f(A)) \right \rvert \le C \lVert B \rVert_\beta^\beta$$ EDITAR: La semi-norma $\lVert B \rVert_\beta$ es la semi-norma de Schatten von Neumann.

Esto es válido para los operadores de conmutación $A,B$y parece ser válido para matrices 2x2, si calculé correctamente. También existe la hipótesis más fuerte, que para cualquier norma unitaria equivalente$\lVert \cdot \rVert$, tenemos el presupuesto $$ \left \lVert f(A+B) - f(A) \right \rVert \le C \lVert \lvert B \rvert^\beta\rVert$$Soy consciente de la cuestión de la continuidad de Hölder para los operadores y su respuesta, pero esto es diferente, ya que el contraejemplo trivial no se sostiene. El caso especial$f(t)=t^\beta$ se afirma como verdadero en una respuesta a esa pregunta.

Answer 1

Estas cuestiones han sido muy estudiadas, en particular por Aleksandrov y Peller. Probablemente la referencia más relevante sea el artículo Funciones de los operadores bajo perturbaciones de clase$S_p$por Aleksandrov y Peller, J. Funct. Anal. 258 (2010). Enlace Zbmath o enlace Mathscinet .

En particular, se demuestra allí (Teorema 9.14) que para cada $\beta<1$ y $p \leq 1$, hay un $\beta$-Función continua de Hölder $f$ y operadores $A$, $B$ tal que $B \in S_{1}$ tal que $f(A)-f(B)$ no pertenece al $S_{1/\beta}$. En particular,$B \in S_\beta$ y $f(A) -f(B)$ no pertenece al $S^1$.

Sorprendentemente, esto es óptimo (Teorema 9.13): para cada $p>1$, y cada $\beta$-Función continua de Hölder $f$, $f(A+B) - f(A)$ pertenece a $S_{p/\beta}$ cuando $B$ pertenece a $S_p$.

En el mismo documento, condiciones suficientes sobre $f$ lo que implica que $\|f(A+B)-f(A)\|_1 \leq \|B\|_\beta^\beta$ son derivados.