¿Cuándo existen los números de compacidad infinita?

Question

Por una lógica $\mathcal{L}$, deje que el número de compacidad de$\mathcal{L}$ (si existe) ser el menor $\kappa$ tal que cada $(<\kappa)$-satisfactorio $\mathcal{L}$-La teoría es satisfactoria. Tenga en cuenta que aquí no hay restricción sobre la cardinalidad del lenguaje de la teoría en cuestión.

Por ejemplo, un cardenal incontable $\kappa$ es fuertemente compacto si es el número de compacidad de su propia lógica infinita $\mathcal{L}_{\kappa,\kappa}$; Más interesante aún, Magidor demostró que$\mathsf{SOL}$ tiene un número de compacidad si hay un cardinal extensible, en cuyo caso su número de compacidad es el cardinal menos extensible.

Mi pregunta es:

¿Cuál es la fuerza de "For every $\kappa$, el número de compacidad de $\mathcal{L}_{\kappa,\kappa}$ existe? "

EDITAR: Originalmente dije que no sabía nada relevante, pero acabo de notar que una de las preguntas relacionadas sugeridas es muy relevante, a saber, esta : allí se muestra, por ejemplo, que la existencia de un número de compacidad para$\mathcal{L}_{\omega_1,\omega_1}$ ya implica la existencia de un cardinal mensurable, o más técnicamente que la existencia de un número de compacidad para $\mathcal{L}_{\omega_1,\omega_1}$ es equivalente a la existencia de un $\omega_1$-cardenal fuertemente compacto. Una suposición natural basada en eso es que el principio en cuestión es equivalente a "Para cada$\kappa$ hay un $\kappa$-cardenal fuertemente compacto ", pero no he tenido la oportunidad de leer el argumento en detalle, así que no tengo mucha confianza aquí.

Answer 1

El número de compacidad para $\mathcal L_{\kappa,\kappa}$ es igual al mínimo $(\kappa,\infty)$-cardenal fuertemente compacto. Un cardenal es$(\kappa,\infty)$-fuertemente compacto si para cada juego $X$, hay un $j : V\to M$ tal que $\text{crit}(j)\geq \kappa$y $j[X]$ puede ser cubierto por un elemento de $M$ de $M$-cardinalidad menor que $j(\delta)$. Esbozo una prueba al final porque no conozco la referencia.

Pero primero: se deduce fácilmente que su hipótesis es equivalente a la existencia de una clase adecuada de cardenales casi fuertemente compactos, que están (o deberían estar) definidos como cardenales. $\kappa$ tal que para todos $\gamma < \kappa$ cada $\kappa$-el filtro completo se puede ampliar a un $\gamma$-completo (resp. $\gamma^+$-completo) ultrafiltro. Si esto es equivalente a la existencia de una clase adecuada de cardenales fuertemente compactos es una cuestión abierta. La verdadera fuerza de la consistencia es probablemente una clase adecuada de supercompactos: estas tres hipótesis son equivalentes bajo el Axioma de ultrapotencia. Existe alguna evidencia de que la equivalencia entre una clase adecuada de compactos casi fuertes y una clase adecuada de compactos fuertes es un teorema de ZFC: el primer cardinal casi fuertemente compacto por encima de un ordinal$\gamma$ es fuertemente compacto o tiene cofinalidad contable (aunque la verdad es que necesitaba un poco de SCH para manejar el caso $\gamma = 0$). Esto está en Algunas propiedades combinatorias de Ultimate$L$ y $V$.

Ahora la prueba. En una dirección, muestras que$\mathcal L_{\kappa,\kappa}$ es $\delta$-compacto para cualquier $\kappa$-fuertemente compacto $\delta$. Arreglar un$\delta$-teoría consistente $T$ en la firma $\tau$. Cubrir$j[T]$ por una teoría $S\subseteq j(T)$ en $M$ de $M$-cardinalidad menor que $j(\delta)$. Obtienes un modelo$\mathfrak A$ de $S$ en $M$ por $j(\delta)$-consistencia de $j(T)$. Toma la reducción de$\mathfrak A$ a $j[\tau]$. Este es esencialmente un modelo de$T$: más precisamente, $j : T \to j[T]$ es un isomorfismo de $\mathcal L_{\kappa,\kappa}$-teorías porque $\text{crit}(j)\geq \kappa$.

Por el contrario, si $\delta$ es el número de compacidad de $\mathcal L_{\kappa,\kappa}$, luego para cualquier conjunto $X$ y cualquier $\delta$-base de filtro completa $\mathcal B$ en $X$, puedes construir un $\delta$-teoría consistente cuyos modelos son $\kappa$-Ultrafiltros completos en $X$ extensión $\mathcal B$. (UN$\delta$-la base de filtro completa es una familia de conjuntos tal que la intersección de cualquier ${<}\delta$subfamilia de tamaño no está vacía.) La firma tiene constantes para todos los subconjuntos de $X$ junto con un predicado $W$. La teoría contiene el axioma "$W(A)$" para cada $A\in \mathcal B$ y el axioma "Si $W(\bigcup \mathcal P)$, luego $\bigvee_{A\in \mathcal P}W(A)$"para cada partición $\mathcal P$ de $X$ con $|\mathcal P| < \kappa$. La teoria es$\delta$-consistente ya que si uno toma un set $\mathcal A\subseteq P(X)$ de cardinalidad menor que $\delta$, se obtiene un modelo de los axiomas en la firma restringida a constantes de $\mathcal A$ Dejando $W$ ser el principal ultrafiltro concentrado en $x\in \bigcap(\mathcal A\cap \mathcal B)$.

De ello se deduce que para cualquier conjunto $X$, hay un $\kappa$-Ultrafiltro completo encendido $P_{\delta}(X)$ extender la base del filtro $\langle A_x \rangle_{x\in X}$ dónde $A_x = \{\sigma \in P_\delta(X): x\in \sigma\}$. Un ultrafiltro así es, por definición, bueno. La incrustación de ultrapotencia asociada$j : V\to M$ tiene un punto crítico al menos $\kappa$ y cierre bajo $\kappa$-secuencias por $\kappa$-lo completo. Finalmente$\text{id}_\mathcal U$ es una portada de $j[X]$ por finura, y $\text{id}_\mathcal U$ tiene $M$-cardinalidad menor que $j(\delta)$ ya que es un elemento de $j(P_{\delta}(X))$ por la definición de $M$-afiliación. Entonces$\delta'$ es $(\kappa,\infty)$-fuertemente compacto. Pero no es demasiado difícil demostrar que al menos$(\kappa,\infty)$-El cardenal fuertemente compacto es un cardenal límite, por lo que $\delta$ debe ser $(\kappa,\infty)$-fuertemente compacto.