Cuántos $3\times 3$ matrices con dígitos de $1$ a $9$ con orden creciente ¿hay?

Aug 16 2020

Las entradas en un $3 \times 3$ la matriz incluye todos los dígitos de $1$ mediante $9$, organizado de modo que las entradas en cada fila y columna estén en orden creciente. ¿Cuántas matrices de este tipo hay?

Esta es una pregunta sobre combinatoria. Intenté usar cuadros y números de gancho, pero no pude entender después de eso, por favor, diga cómo resolver esto. Sería más fácil para mí si se resolviera usando combinatoria normal. Pero sin restricciones. Es tu elección

Respuestas

1 Moko19 Aug 16 2020 at 22:15

Usando la notación $(A,B,C)$ para describir el número $C$ estar ubicado en el $A$ fila y $B$columna. Debido a la simetría, la transposición (reflexión a través de la diagonal principal) de cualquier solución es una solución diferente, en otras palabras, si tenemos una solución:$$\{(A_1,B_1,1), (A_2,B_2,2), (A_3,B_3,3), (A_4,B_4,4), (A_5,B_5,5), (A_6,B_6,6), (A_7,B_7,7), (A_8,B_8,8), (A_9,B_9,9)\}$$ entonces también tenemos una solución: $$\{(B_1,A_1,1), (B_2,A_2,2), (B_3,A_3,3), (B_4,A_4,4), (B_5,A_5,5), (B_6,A_6,6), (B_7,A_7,7), (B_8,A_8,8), (B_9,A_9,9)\}$$

Como cada fila y columna tiene que estar en orden creciente, sabemos que nuestra solución debe incluir $(1,1,1)$ y $(3,3,9)$.

Tenemos dos opciones sobre dónde poner el número $8$. Debido a la simetría, consideraremos solo las soluciones con$(3,2,8)$, y solo necesitará duplicar el número de soluciones.

Ahora tenemos dos opciones sobre dónde poner $7$:

Caso 1: $(3,1,7)$

El número $6$ está encerrado como $(2,3,6)$. El número$5$ puede estar en $(2,2,5)$ o $(1,3,5)$. Si$(2,2,5)$, luego los números $2,3,4$tiene que estar en los tres lugares restantes; tan pronto como elegimos cuál está en$(2,1,X)$, luego el resto se bloquea en su lugar, dando tres soluciones con $(3,1,7)$ y $(2,2,5)$. Si$(1,3,5)$, entonces debemos tener $(2,2,4)$y tener solo una $(1,2,2)$ y $(2,1,3)$ o $(1,2,3)$ y $(2,1,2)$ para otras dos soluciones.

Caso 2: $(2,3,7)$

Los números $5$ y $6$debe estar en dos de los tres puntos de la antidiagonal principal (el superior derecho, el cuadrado del medio y el inferior izquierdo). Por lo tanto, son$3!=6$formas de asignarlos. En los dos casos en los que ninguno está en el espacio intermedio, el número$4$ debe estar en el espacio del medio, y hay dos arreglos posibles para los números $2$ y $3$. En cada uno de los otros cuatro casos, hay dos casos en los que el número$4$está en el espacio restante de la antidiagonal principal y en el otro no. Esto da como resultado un total de 16 arreglos si$(2,3,7)$.

Por lo tanto, el número total de arreglos es $2(3+2+2\cdot2+4\cdot3)=42$

1 BarryCipra Aug 31 2020 at 16:36

los $1$ y el $9$debe ir claramente en las esquinas superior izquierda e inferior derecha, respectivamente. Es fácil ver que el$5$ no puede ser adyacente a la $1$ o la $9$, por lo tanto, debe ir en uno de los tres puntos de la diagonal "anti". Inventando un poco de notación, podemos escribir el número de posibilidades como

$$\#\pmatrix{1&*&\\*&5&-\\&-&9}+2\times\#\pmatrix{1&*&5\\*&&-\\&-&9}$$

donde el "$\#$"de un $3\times3$ matriz denota el número de soluciones con $1$, $5$y $9$ en lugares asignados, con cada $*$ entendido como un número entre $1$ y $5$ y cada $-$ un número entre $5$ y $9$. Los "$2\times\,$"es por la simetría que tendría el $5$en la esquina inferior izquierda. Por la misma simetría, tenemos

$$\#\pmatrix{1&*&\\*&5&-\\&-&9}=2\times\#\pmatrix{1&*&*\\*&5&-\\-&-&9}$$

y ahora es fácil ver que los tres $*$se pueden llenar con los números $2$, $3$y $4$ en solo $3$ de diferentes formas, e igualmente para los tres $-$está con los números $6$, $7$y $8$, así que eso