Curva en una esfera

Question

Dejar $\alpha:I\rightarrow\mathbb{R}^3$ser una curva regular. Si existe un punto$P\in\mathbb{R}^3$ tal que la línea que pasa por $P$ y $\alpha(t)$ es perpendicular a la recta tangente en $\alpha$ en el instante $t$ para cualquier $t$, luego el rastro de $\alpha$ está contenido en una esfera.

Como $(P-\alpha(t))\cdot \alpha'(t)=0$ y $((P-\alpha(t))\cdot (P-\alpha(t)))'=-2(P-\alpha(t))\cdot \alpha'(t)$, entonces

$$|P-\alpha(t)|^2=\int((P-\alpha(t))\cdot (P-\alpha(t)))'dt=\int-2(P-\alpha(t))\cdot \alpha'(t)dt=\int0dt=c$$ para algunos $c\geq0$.

¿Es correcto? ¿Cómo podría solucionarlo sin integrar?

Answer 1

¡Ni siquiera tienes que conocer el concepto de integración! Solo usa ese hecho de que$$\left(\bigl\|P-\alpha(t)\right\|^2\bigr)'=0$$para cada $t$, de lo que se sigue que $t\mapsto\|P-\alpha(t)\bigr\|$ es constante.