Dejar $x_0$ser un número trascendental, $x_{n+1}=\frac{3-x_n}{x_n^2+3x_n-2}$. ¿Cuál es el límite de $x_n$?
Dejar$x_0$ser un número trascendental,$$x_{n+1}=\frac{3-x_n}{x_{n}^{2}+3x_{n}-2}$$¿Cuál es el límite de$x_{n}$?
Escoger$x_0=\pi$, y parece que el límite de$x_n$es$-1$. Pero cual es la prueba de esto$\pi$y otros números? Dejar$$f(x)=\frac{3-x}{x^{2}+3x-2}$$Lo siguiente puede ser útil.$$f'(x)=\frac{(x-7)(x+1)}{(x^{2}+3x-2)^2}$$ $$f(x)-x=\frac{-(x-1)(x+1)(x+3)}{x^{2}+3x-2}$$ $$f(x)+1=\frac{(x+1)^{2}}{x^{2}+3x-2}$$.
Respuestas
Dejar$f(x) = \frac{3-x}{x^2+3x-2}$. Si$\lim x_n$existe, entonces$L = \lim x_{n+1}=\lim x_n$, así que establece$$L=f(L)$$
Hay tres soluciones a esto:$L = -3, -1, 1$. Para encontrar el correcto, tenga en cuenta que para un pequeño vecindario alrededor$-3$, tu tienes$|f(x)+3|>|x+3|$, y alrededor$1$, tu tienes$|f(x)-1|>|x-1|$. Para ambos$-3$y$1$, la diferencia se hará aún mayor. Alrededor$-1$por otro lado, tienes$|f(x)+1|<|x+1|$, por lo que la diferencia es cada vez menor (esta no es una prueba rigurosa sino más bien intuitiva).
Así, para "la mayoría"$x_0$, convergerá a$-1$. La única forma en que convergerá a$-3$o$1$es si converge exactamente en un número finito de iteraciones. Pero para que eso sea cierto, tiene que ser una solución a$$f^n(x_0) = -3$$(o$1$) para algunos$n$, lo que significa que debe ser algebraica. Por tanto, para todo trascendental, el límite será$-1$.