Derivada de integral con límites

Question

Tengo el siguiente problema:

Dejar $f(x) = \int_{3}^{x}\sqrt{1+t^3}\ dt$. Encontrar$(f^{-1})'(0)$.

Yo se que si $g' = f^{-1}(x)$ ese $g'(f(x))f'(x) = 1$. Obviamente cuando$x$ es $3$, $f(x)$ es $0$. Así que resolví eso:

$\displaystyle\ g’(f(3))f’(3)=1→ g'(0)=\frac{1}{f'(3)}→(f^{-1})'(0)=\frac{1}{\frac{d}{dt}[\int\sqrt{1+3^{3}}dt]}=\frac{1}{\sqrt{1+27}}$ $$=\frac{1}{\sqrt{28}}.$$

Mi pregunta es: desde $f(x)$ fue originalmente una integral evaluada de $3$ a $x$, no debería $x$ ser $3$a lo largo de la ecuación, haciendo inútil el intento de tomar su derivada? ¿Esto resultaría en que la solución "no está definida" ya que no se puede dividir$(1)$por cero? ¿O la derivada anula efectivamente los límites?

Answer 1

Según el teorema fundamental del cálculo , tienes$$f'(x)=\sqrt{1+x^3}.$$

Alternativamente recuerde que $x=f(f^{-1}(x))$, por lo que diferenciando ambos lados de la ecuación y usando la regla de la cadena tenemos $$1=f'(f^{-1}(x))(f^{-1}(x))'$$

entonces $$(f^{-1}(x))'=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}=\frac{1}{\sqrt{1+(f^{-1}(x))^3}}$$

entonces desde $f(3)=0$ tenemos $f^{-1}(0)=3$ (como mencionaste) y así

$$(f^{-1}(0))'=\frac{1}{\sqrt{1+(f^{-1}(0))^3}}=\frac{1}{\sqrt{1+27}}=\frac{1}{\sqrt{28}}.$$

Answer 2

Toda mi respuesta aquí se basará en el hecho de que ha asumido $x \geq 3$. Si me equivoco, su duda debería estar relacionada con el sentido de los límites en la integración.

Quiero que recuerde el principio fundamental de las derivadas.

El primer principio de diferenciación.

$$f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-(x)}$$ Aquí obtenemos el valor derivado ejecutando $h$ tanto en el vecindario positivo como negativo de $0$.
Por lo tanto, obtener un cambio infinitesimal en$f(x)$ en el barrio de $x$ sobre el cambio infinitesimal en $x$.

Pero cuando alguno de los vecindarios no está presente en el dominio cerca $x$ nosotros solo en una dirección, en cambio.

Por ejemplo $\ln(x), x^{\frac{3}{2}} \sqrt{x}$ etc ...

Entiendes la imagen, supongo. Ahora cuestionarías el sentido de esta derivada. Es cuando cuál será la pendiente (tasa de cambio) de la curva / función cuando irá en la única dirección permitida.

De manera similar, aquí la función en cuestión tiene tal propiedad.

Se puede dar una solución más precisa para tales derivadas por el primer principio como: $$f(x)=\int_{3}^{x}{\sqrt{1+t^3}\ dt}$$ Para esta función particular, el significado de derivada en $x=3$ será: $$f'(3)=\lim_{h \to 0^+}\frac{f(3+h)-f(3)}{h}$$

La ecuación anterior dice que $x$ sólo variará en la vecindad positiva de $3$.