Desigualdad de interpolación (incrustación de Sobolev)

Question

Dejar $\Omega$ ser un $C^1$ dominio, para cualquier $\epsilon>0, 0<|\alpha|<k$, existe un $C_\epsilon$ tal que $$||D^\alpha u||_{L^p}\leq \epsilon||u||_{W^{k,p}}+C_\epsilon||u||_{L^p}$$ para todos $u\in W^{k,p}$.

Intentaba probarlo por contradicción.

$\forall n \in \mathbb{N}, \exists u_n \in W^{k,p}$ tal que $||D^\alpha u_n||_{L^p}>\epsilon||u_n||_{W^{k,p}}+n||u_n||_{L^p}$.

¿Alguien podría darme una pista sobre el uso de la incrustación compacta de Sobolev?

Estaba tratando de usar el $W^{k,p}\subset \subset L^p$. Sin embargo, no sé cómo mostrar que la secuencia está limitada en$sup$.

Al tomar la normalización, $v_n=\frac{u_n}{||u_n||_{W^{k,p}}}$, tendríamos $$\frac{1}{||u_n||_{W^{k,p}}}||D^\alpha u_n||_{L^p}>\epsilon+\frac{n}{||u_n||_{W^{k,p}}}||u_n||_{L^p}$$

Answer 1

Resulta que la incrustación $W^{k,p} \subset \subset L^p$ser compacto no es suficiente. Necesitamos algo un poco más fuerte: para$0<|\alpha| < k$ la incrustación $W^{k,p} \subset \subset W^{|\alpha|,p}$ es compacto también.

Una vez que tenga (después de la normalización) $\|u_n\|_{W^{k,p}} = 1$ para todos $n$, la secuencia $u_n$ está limitado en $W^{k,p}$ (porque $\sup_n \|u_n\|_{W^{k,p}} =1$ como normalizamos cada uno de ellos), por lo tanto, por inclusión compacta hay una subsecuencia convergente $u_{n_j} \xrightarrow{W^{|\alpha|,p}} u$.

Ahora, escriba la declaración contradictoria: $$ \|D^{\alpha} u_{n_j}\|_{L^p} > \epsilon\|u_{n_j}\|_{W^{k,p}} + n \|u_{n_j}\|_{L^p} = \epsilon + n \|u_{n_j}\|_{L^p} \tag{*} $$

Tenga en cuenta que desde $1 = \|u_{n_j}\|_{W^{k,p}} \geq \|D^{\alpha}u_{n_j}\|_{L^p}$, el LHS está limitado por $1$. Desde aquí, el lado derecho debe estar delimitado por$1$. Pero para que eso ocurra, debemos tener$\|u\|_{L^p} = 0$, ya que si no, entonces el RHS se verá como $\epsilon + n \|u\|_{L^p}$ para grande $n$, que no está acotado a menos que $\|u\|_{L^p} = 0$. Por lo tanto$u=0$.

Pero tambien tenemos $D^{\alpha} u_{n_j} \xrightarrow{L^p} D^{\alpha} u = 0$. Sin embargo, si tomamos límites en$*$ obtenemos $\|D^{\alpha}u\|_{L^p} > \epsilon$. Esto completa la contradicción.