Desigualdad integral para función simétrica [duplicado]

Question

Dejar $f$ ser una función continua de $[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$. Quiero probar el siguiente resultado, pero ni siquiera puedo empezar realmente.

$$I \equiv \int_0^1 \int_0^1 x \wedge yf(x)f(y)dxdy \ge 0 $$ con igualdad si y solo si $f(x) = 0 \quad \forall x \in [0,1]$. Obviamente puedo hacer la observación de que$I = 2\int_{x \leq y} x f(x) f(y)dxdy$pero esto no ayuda. Cualquier sugerencia / solución sería muy apreciada, y lamento no tener ninguna idea hasta ahora por mi cuenta. ¡Gracias si puedes ayudar!

Answer 1

Dejar $h_x(t)=0$ para $t >x$ y $1$ para $t \leq x$. Luego$\int_0^{1} h_x(t)h_y(t)dt=x\wedge y$. Entonces (intercambiando el orden de integración) podemos escribir$$I=\int_0^{1}\int_0^{1}\int_0^{1} h_x(t)h_y(t)dtf(x)f(y)dxdy$$ $$= \int_0^{1}(\int_0^{1}\int_0^{1} h_x(t)h_y(t)f(x)f(y)dxdy) dt$$ $$=\int_0^{1}(\int_0^{1} h_x(t)f(x)dx)^{2}dt \geq 0.$$ La igualdad se mantiene solo cuando $\int_0^{1} h_x(t)f(x)dx=0$ para todos $t$ lo que significa $\int_t^{1}f(x)dx=0$ para todos $t$. Esto implica$f(x)=0$ para al $x$.