Desigualdad para función de$\arctan(x)$

Aug 17 2020

quiero mostrar eso$$f(x) = \frac{1}{\arctan(x)} - \frac{1}{x} $$está aumentando en$(0, \infty)$. Puedo ver esto claramente al trazarlo, pero me cuesta escribirlo con rigor. Obviamente, basta con mostrar que su derivada siempre es positiva en este rango (que también queda claro al graficarla). Tenemos$$f'(x) = \frac{(1+x^2)\arctan^2(x) -x^2}{x^2(1+x^2)\arctan^2(x)}$$así que de nuevo es suficiente para demostrar que$$g(x) \equiv (1+x^2)\arctan^2(x) -x^2 \ge 0 \quad \forall x >0$$(y, una vez más, esto queda claro al trazarlo). He saltado por la madriguera del conejo de tomar la derivada de$g$también (ya que es$0$a$x = 0$por lo que nuevamente sería suficiente demostrar que$g' \ge 0$) y no produce nada inmediatamente útil para mí. por favor ayuda si puedes

Respuestas

5 cr001 Aug 17 2020 at 02:58

$${1\over 1+x^2}\ge {1-x^2\over (1+x^2)^2}\quad \forall x >0$$que es derivado de$${\arctan(x)}\ge {x\over 1+x^2}\quad \forall x >0$$ $${2\arctan(x)\over 1+x^2}\ge {2x\over (1+x^2)^2}\quad \forall x >0$$que es derivado de$$\arctan^2(x) \ge {x^2\over 1+x^2}\quad \forall x >0$$

$$(1+x^2)\arctan^2(x) -x^2 \ge 0 \quad \forall x >0$$

2 PacoAdajar Aug 17 2020 at 03:04

Considere en su lugar$ \displaystyle g(x) = \arctan{x} - \frac{x^2}{1 + x^2}$. Tenga en cuenta que$g(0) = 0$, por lo que basta con demostrar que$g'(x) = 0$por$x \ge 0$.

Ahora,$\displaystyle g'(x) = \frac{2[(1 + x^2)\arctan{x} - x]}{(1 + x^2)^2}$. Por lo tanto, basta considerar$$h(x) = \arctan{x} - \frac{x}{(1 + x^2)},$$y mostrar que$h(x) \ge 0$por$x \ge 0$. Pero$h(0) = 0$, y$$h'(x) = \frac{2x^2}{(1 + x^2)^2} \ge 0$$para todos$x$. Esto completa la demostración.