¿Determinar si una función es sobreyectiva?

Question

Entonces di que tienes la función ${f: \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}}$y desea determinar si $f(m, n)=2m-n$ es una función sobreyectiva.

Encontré este video en línea, que luego lo prueba. La parte que no entiendo es por qué funciona la prueba. En el video, llega a$f(0, -y) = 2(0)-(-y)=y$, pero no entiendo como eso prueba ${f: \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}}$.

Lo mismo con la función $f(m, n)=m^2-n^2$, Encontré esta respuesta en línea, pero parece que$f(m, n)=m^2-n^2$no es una función sobreyectiva. ¿Pero la función no tiene que generar un número entero? ¿Por qué no puede algo como$m=2$ y $n=4$ ¿trabajo?

Answer 1

por $f(m,n)=2m-n$, el objetivo es encontrar para cada $y\in\mathbb{Z}$, $(m,n)\in\mathbb{Z}^2$ tal que $f(m,n)=y$, pero como se mencionó $f(0,-y)=y$ y por lo tanto $(m,n)=(0,-y)$ funciona, así tenemos: $\forall y\in\mathbb{Z},\exists (m,n)\in\mathbb{Z}^2,y=f(m,n)$. Como para$f(m,n)=m^2-n^2$, No entiendo lo que quiere decir con "¿la función no tiene que generar un número entero? ¿Por qué no pueden funcionar algo como m = 2 yn = 4?". La pregunta es "¿$f(m,n)$ toma todos los valores posibles en $\mathbb{Z}$ ? ", la respuesta es no porque $f(m,n)\neq 2$ para todos $(m,n)\in\mathbb{Z}^2$como se demuestra en la respuesta. Por supuesto, no es suficiente decir que$f(m,n)\in\mathbb{Z}$ para todos $(m,n)\in\mathbb{Z}^2$, tomar $n\in\mathbb{Z}\mapsto\mapsto |n|\in\mathbb{Z}$ que claramente no es sobreyectiva.

Answer 2

1. Porque tomando $\forall y \in \mathbb{Z}$ existe par $f(0,-y)=y$.