$\ell$-representaciones ádicas de campos finitos

Question

Recientemente leí el libro "Teoría de $p$-adic Galois Representations "escrito por Fontaine y Ouyang. (Aquí está el enlace a este libro: http://staff.ustc.edu.cn/~yiouyang/galoisrep.pdf)

Dejar $K:=\mathbb{F}_q$ ser el campo finito de característica $p$ con $q$elementos. Arreglar un cierre algebraico$\overline{K}$ de $K$, y denotar el grupo de Galois de $\overline{K}/K$ por $G_K$. El Frobenius geométrico$\tau_K:\overline{K}\rightarrow \overline{K}$ de $G_K$ es $x\mapsto x^{1/q}$. Si$\rho:G_K\rightarrow \text{GL}(V)$ es un continuo de dimensión finita $\ell$-representación ádica (esto significa $V$ es una dimensión finita $\mathbb{Q}_{\ell}$-espacio vectorial), escribimos $u:=\rho(\tau_K)$. Entonces tenemos la siguiente proposición:

Proposición. (Prososición 1.10 en el libro) Los valores propios de$u$ están todos en $\mathbb{Z}_{\ell}^{\times}$. Por el contrario, dado cualquier$u\in \text{GL}(V)$, existe un homomorfismo continuo $\rho:G_K\rightarrow \text{GL}(V)$ tal que $u=\rho(\tau_K)$ si todos los valores propios de $u$ estan en $\mathbb{Z}_{\ell}^{\times}$.

No tengo ni idea de cómo demostrarlo, aunque los autores dicen que es fácil.

Creo que el punto clave es cómo determinar el elemento. $\rho(\tau_K^n)$ para $n\in \widehat{\mathbb{Z}}$. En el libro, escriben$\rho(\tau_K^n)=\lim_{m\in \mathbb{Z}, m\mapsto n}u^m$, pero no puedo entender qué significa el límite.

Answer 1

Eso no es lo que dice la proposición; dice que los valores propios son unidades. Ellos no tienen que mentir$\mathbb{Q}_l$.

Aquí tienes una pista. Si una matriz invertible$M$ actuando $V$tiene un valor propio que no es una unidad, entonces, después de posiblemente invertir$M$, podemos asumir que tiene un valor propio $\lambda$ con $|\lambda| > 1$. Pero entonces$M^{n}$ para grande $n$ tendrá un valor propio $\lambda^n$ dónde $|\lambda^n|$ es cada vez más grande.

Ahora tienes que entender (dada la estructura de $\widehat{\mathbb{Z}}$) ¿Por qué la continuidad de $G_K \rightarrow \mathrm{GL}(V)$ implica que habrá una gran integral $n$ tal que $M^n$ y $M^0 = I$ son tan cercanos como desee mapas lineales, y esto excluirá los valores propios de $M^n$ siendo grande.