En el contexto de DFT, ¿Dónde pertenece la muestra de frecuencia de Nyquist en un espectro de frecuencia de doble cara (lado positivo / negativo)?

Question

Si tenemos un número par de puntos de datos $N$, después de DFT en MATLAB, la salida tiene el orden:

$$(\text{DC}, f_1, f_2, \ldots, f_{N/2-1}, f_\text{Nyq}, -f_{N/2-1}, -f_{N/2-2}, \ldots, -f_1)$$

Para señales reales, la primera salida correspondiente a $k$= 0, es real y también lo es la frecuencia de Nyquist. Después de eso, los números son conjugados complejos.

Si estamos interesados ​​en un espectro de un solo lado, la frecuencia de Nyquist se muestra en el lado positivo.

Sin embargo, cuando se traza un espectro de frecuencia de doble cara, muchos autores ponen la frecuencia de Nyquist en el lado negativo.

Algún software como OriginPro, sigue lo contrario. ¿Existe una forma fundamentalmente correcta o es solo una convención, es decir,

$$ \text { If } N \text { is even, } \quad k\quad\text { takes: }-\frac{N}{2}, \ldots,-1,0,1, \ldots, \frac{N}{2}-1 $$

Alternativamente, $$ \text { If } N \text { is even, } \quad k \text { takes: } -\frac{N}{2}-1, \ldots,-1,0,1, \ldots, \frac{N}{2}$$

dónde $k$ es el vector de índice DFT, que se utiliza para construir el eje de frecuencia como

$$\text {Frequency axis}=k/ N\Delta t$$

dónde $\Delta t$ es el intervalo de muestreo.

Mucha gente dice que es solo una convención y ambas son correctas. Gracias.

Answer 1

Es una convención, son equivalentes:

$$ \exp{\left(j2 \pi \frac{N}{2}n/N \right)} = \exp{\left(j2\pi \frac{-N}{2}n/N\right)} \\ \Rightarrow e^{j\pi n} = e^{-j \pi n} \Rightarrow \cos(\pi n) = \cos(-\pi n)=(-1)^n,\ j\sin(\pi n) = j\sin(-\pi n) = 0 $$

MATLAB y Numpy van $[-N/2, ..., N/2-1]$, lo cual es desafortunado para las representaciones analíticas (+ frecuencias solamente). Tenga en cuenta también que su valor se duplica en relación con otros contenedores (pero no manualmente; se correlacionan de esta manera), por lo que, en cierto sentido, es una frecuencia tanto negativa como positiva, por lo que la energía se conserva:

Puede saber la preferencia de una biblioteca por fftshift documentos :

Answer 2

Asumiendo $x[n]$ es real, lo que resulta en $X[k]$siendo "simétrico hermitiano" ;

$$ X[N-k] = (X[k])^* $$

y si $N$ es par, entonces el valor en el contenedor DFT $X[\tfrac{N}{2}]$(que es una cantidad real con una parte imaginaria cero) debe dividirse en dos mitades iguales. La mitad debe colocarse en$k=-\tfrac{N}{2}$ y la otra mitad colocada en $k=+\tfrac{N}{2}$.

Esta respuesta anterior trata de esto.