Encontrar lim sup

Question

No puedo encontrar una manera de resolver esto. He intentado usar la definición de lim sup pero no llegué a ninguna parte.

Considere la serie: $\sum^\infty_{n=1} a_n = \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\cdots+\cdots$

Luego $\limsup_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=$

Editar: Este es el trabajo que hice ayer por la noche. Mis disculpas por no mostrar mi trabajo.

He mirado la secuencia $\frac{a_{n+1}}{a_{n}}$. Observé que parece$\frac{2}{3}, \frac{3}{2^2}, \frac{2^2}{3^2},\frac{3^2}{2^3},\cdots$.

Entonces, los términos generales se ven como $(\frac{2}{3})^n$ para $n$ extraño y $\frac{1}{2}(\frac{3}{2})^n$ para $n$ incluso.

Miré los supremums de las secuencias de la cola y luego decidí encontrar su infimum. La secuencia que encontré tiene$\infty$ como el supremo de cada secuencia de cola ya que la secuencia para $n$incluso está aumentando monótonamente. Así inferí que el limsup debería ser$\infty$. Sin embargo, se dio la respuesta para ser$\frac{1}{2}$.

Esta secuencia que encontré es, por supuesto, un error, ya que los exponentes que he tomado son incorrectos.

La secuencia en realidad se parece a $\frac{a_{n+1}}{a_n}=\cases{(\frac{2}{3})^{\frac{n+1}{2}}& n is odd\\ \frac{1}{2}(\frac{3}{2})^\frac{n}{2}& n is even}$

Pero aún así, la secuencia de supremum de las colas consiste solo en $\infty$ y, por tanto, el mínimo de los supremums es $\infty$. ¿Qué me estoy perdiendo?

Answer 1

Su argumento está perfectamente bien y el "bandido" en este es el autor del problema por no aclarar cómo $a_{n}$se va a expresar. Algo que he encontrado cierto para algunos autores es que; en caso de duda, un libro de texto de matemáticas siempre se escribe en "tres".

---

Si en lugar de tratar $a_{n}$ ser una secuencia de poderes recíprocos alternos de $2$ y $3$, nosotros tomamos $a_{n}$ ser una secuencia de poderes iguales, como en $a_{n}=\frac{1}{2^{n}}+\frac{1}{3^{n}}$, entonces obtenemos una descripción alternativa (y en retrospectiva una verdadera) de la serie en cuestión. Mediante la siguiente secuencia de cálculos llegamos$\lim \sup \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{1}{2}$:

Primero reescribiendo $a_{n}$ en un denominador común obtenemos $a_{n}=\frac{3^{n}+2^{n}}{6^{n}}$ y entonces

$$\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{2^{n+1}+3^{n+1}}{6(2^{n}+3^{n})}.$$

Dividir numerador y denominador por $3^{n+1}$ llegamos a $$\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{(\frac{2}{3})^{n+1}+1}{2((\frac{2}{3})^{n}+1)}.$$ Ahora desde $$(\frac{2}{3})^{n},(\frac{2}{3})^{n+1}\to 0 \ \text{as} \ n \to \infty$$ lo conseguimos $$\lim \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\lim \frac{(\frac{2}{3})^{n+1}+1}{2((\frac{2}{3})^{n}+1)}=\frac{1}{2}.$$ Porque $\lim \sup x_{n} = \lim x_{n}$ para una secuencia $x_{n}$ que converge, podemos inferir que $$\lim_{n\to\infty} \sup \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{1}{2}$$.