Encuentre el coeficiente de correlación entre$X_{(1)},X_{(3)}$

Question

Hay la siguiente pregunta:

Dejar$X_{(1)},X_{(2)},X_{(3)}$ser orden estadístico de tres variables aleatorias independientes$X_1,X_2,X_3$con distribución uniforme en$[0,1]$. Encuentre el coeficiente de correlación entre$X_{(1)},X_{(3)}$.

Lo sabemos$X_{(k)}\sim Beta(k,4-k)$entonces obtenemos:$$ Var\left(X_{(k)}\right)=\frac{k\cdot(4-k)}{(k+(4-k))^{2}\cdot(k+(4-k)+1)}=\frac{k(4-k)}{80}, E\left(X_{(k)}\right)=\frac{k}{(4-k)+k}=\frac{k}{3} $$Podemos usar el siguiente teorema para calcular$Corr\left(X_{(1)},X_{(3)}\right)$:$$ Corr\left(X_{(1)},X_{(3)}\right)=\frac{Cov\left(X_{(1)},X_{(3)}\right)}{\sqrt{Var\left(X_{(1)}\right)}\sqrt{Var\left(X_{(2)}\right)}}=\frac{E\left(X_{(1)},X_{(3)}\right)-E\left(X_{(1)}\right)E\left(X_{(3)}\right)}{\sqrt{Var\left(X_{(1)}\right)}\sqrt{Var\left(X_{(2)}\right)}} $$Lo único que queda por calcular es$E\left(X_{(1)},X_{(3)}\right)$. En la solución dice que las funciones de densidad de probabilidad son:

No entiendo cómo calcularon la función de la izquierda. Será un placer ver alguna explicación. ¿Qué teorema usaron?

Answer 1

La función de densidad conjunta triple para las estadísticas de orden es la función de densidad de probabilidad para arreglos de las muestras que se ajusta a esos tres valores ordenados,$x\leqslant y\leqslant z$.

Dado que estas tres muestras se distribuyen de forma idéntica e independiente, es decir:

$$\begin{align}f_{\small\! X_{(1)},X_{(2)},X_{(3)}}\!(x,y,z) &={( f_{\small\! X_1,X_2,X_3\!}(x,y,z) + f_{\small\! X_1,X_2,X_3\!}(x,z,y)+f_{\small\! X_1,X_2,X_3\!}(y,x,z)\\+f_{\small\! X_1,X_2,X_3\!}(y,z,x)+f_{\small\! X_1,X_2,X_3\!}(z,x,y)+f_{\small\! X_1,X_2,X_3\!}(z,y,x))~\mathbf 1_{x\leqslant y\leqslant z}} \\[1ex] &= 3!\,f_{\!\small X_1}\!(x)\,f_{\!\small X_1}\!(y)\,f_{\!\small X_1}\!(z))\;\mathbf 1_{x\leqslant y\leqslant z}\\[1ex]&=3!\,\mathbf 1_{0\leqslant x\leqslant y\leqslant z\leqslant 1}\end{align}$$

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El marginal para el pdf conjunto para$X_{(1)}$y$X_{(3)}$es solo la integral de esto para todos los valores medios entre la estadística de menor y mayor orden.

$$\begin{align}f_{\small\! X_{(1)},X_{(3)}}\!(x,z) &=\int_x^z f_{\small\! X_{(1)},X_{(2)},X_{(3)}}\!(x,y,z) ~\mathrm d y \\[2ex]&= 3!~(z-x)~\mathbf 1_{0\leqslant x\leqslant z\leqslant 1}\end{align}$$

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Similarmente:$$\begin{align}f_{\small X_{(1)}}(x)&= 3\,(1-x)^2~\mathbf 1_{0\leqslant x\leqslant 1}\\[3ex]f_{\small X_{(2)}}(y)&=3!\,y(1-y)\,\mathbf 1_{0\leqslant y\leqslant 1}\\[3ex]f_{\small X_{(3)}}(z)&= 3\,z^2\,\mathbf 1_{0\leqslant z\leqslant 1}\end{align}$$

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Eso es todo.

Answer 2

Un atajo a la respuesta es notar que$(X_{(1)}, X_{(2)} - X_{(1)}, X_{(3)} - X_{(2)}, 1 - X_{(3)}) = (p_1, p_2, p_3, p_4)$se distribuye uniformemente en el símplex, es decir, tiene una$\operatorname{Dirichlet}(1,1,1,1)$distribución. Por lo tanto,$\text{Cov}(X_{(1)}, X_{(3)}) = -\text{Cov}(p_1, p_4)$que usando las propiedades de la distribución de Dirichlet es$(1 \times 1) / (4^2 * 5) = 1/80$. También tenemos$\text{Var}(X_{(1)}) = \text{Var}(X_{(3)}) = \text{Var}(p_1) = \text{Var}(p_4) = 3/80$entonces la correlación es$1/3$.