Es cierto que $V^{\,T}SV=\Lambda$?
Rápido
Una matriz simétrica $S=S^T$ tiene vectores propios ortonormales $\vec{v}_1$ a $\vec{v}_n$. Entonces cualquier vector$\vec{x}$ se puede escribir como una combinación $\vec{x} = c_1 \vec{v}_1+ \cdots + c_n \vec{x}_n$. Explique esta fórmula:$\vec{x}^{\,T}S\vec{x} = \lambda_1 c_1^2+ \cdots + \lambda_nc_n^2$
Mi explicacion:
$\vec{x}$ Se puede escribir como $$ \begin{bmatrix} \vec{v}_1 & \cdots & \vec{v}_n \end{bmatrix}_{nxn} \begin{bmatrix} c_1 \\ \vdots \\ c_n \end{bmatrix}_{\,nx1} = V\vec{c} $$ Considerar, $$ \vec{x}^{\,T}S\vec{x} = \vec{c}^{\,T}(V^{\,T}SV)\vec{c} = \vec{c}^{\,T}\Lambda\vec{c} = \lambda_1 c_1^2 + \cdots + \lambda c_n^2 $$ Vemos que los vectores propios ortonormales de $S$multiplique para hacer la matriz diagonal de valor propio. Luego terminamos con el producto interno de las ponderaciones vectoriales, la$c^2$ términos, escalados por sus respectivos valores propios.
Me siento bastante bien con mi explicación. Solo la parte que no entiendo completamente es por qué$V^{\,T}SV=\Lambda$... Me parece que debería equivaler a algo más en la línea de $\Lambda^T \Lambda$ ya que cada vector propio debería haber sido escalado cuando se multiplica a la derecha porque $A\vec{v} = \lambda \vec{v}$.
Es cierto que $V^{\,T}SV=\Lambda$? Si es así, se agradecería un poco de ayuda para ver por qué.
De una forma en que lo pensé.
$$ V^TSV = V^T(SV) = V^T \begin{bmatrix} \lambda_1 \vec{v_1} & ... & \lambda_n \vec{v_n} \end{bmatrix} $$ La forma de pensar $SV$ es que cada columna de $V$ es un vector propio que multiplica las columnas de $S$. Ya sabemos lo que será esta combinación por la definición de un vector propio$A\vec{v} = \lambda\vec{v}$. Finalmente, al multiplicar por la derecha$V^T$ recuerda eso $\vec{v}_i^{\,T}\vec{v_j}=1$ es $1$ cuando $i=j$ y $0$ cuando $i\neq j$ por definición de ser vectores ortonormales.
Claramente terminamos con $\Lambda$ como el resultado.
Respuestas
Si, es cierto que $V^TSV = \Lambda$. Hay varias formas en que podemos entender por qué esto es así; una forma es comparar lo que "hace" cada matriz con un vector columna.
Dejar $\vec c$ denotar el vector de columna $\vec c = (c_1,\dots,c_n)$. Comprueba eso$\Lambda \vec c = (\lambda_1 c_1,\dots,\lambda_n c_n)$.
Ahora, consideramos el producto $V^TSV \vec c = V^T(S(V\vec c))$. Encontramos eso$$ V \vec c = \pmatrix{\vec v_1 & \cdots & \vec v_n} \pmatrix{c_1 \\ \vdots \\ c_n} = c_1 \vec v_1 + \cdots + c_n \vec v_n. $$ Para decirlo de otra manera, el papel del $V$ es interpretar las entradas de $\vec c$ como los coeficientes de los vectores $\vec v_1,\dots,\vec v_n$. A partir de ahí, lo vemos porque cada$v_i$ es un vector propio de $S$, tenemos $$ S(V\vec c) = S(c_1 \vec v_1 + \cdots + c_n \vec v_n) = c_1 \lambda_1 \vec v_1 + \cdots + c_n \lambda_n \vec v_n. $$ Finalmente, tenga en cuenta que (porque $V$ es ortogonal) $V^T$ es el inverso de $V$. Entonces, al igual que$V$ interpreta el "vector de entrada" como una lista de coeficientes para el $v_i$, $V^T$ toma un vector y nos da la lista de coeficientes para el $v_i$como su salida. Es decir,$$ V^T(S(V\vec c)) = (c_1 \lambda_1) \vec v_1 + \cdots + (c_n \lambda_n) \vec v_n = (c_1 \lambda_1,\dots,c_n \lambda_n). $$ De hecho, $V^TSV$ y $\Lambda$ describen la misma transformación y, por tanto, son la misma matriz.
Podemos pensar en $V^TSV$ como una versión alterada de $S$ donde, en lugar de pensar en las entradas de un vector (tanto de entrada como de salida) como las coordenadas literales de un vector, las interpretamos como los coeficientes de nuestros vectores $v_i$. En términos de terminología que quizás ya haya escuchado antes, decimos que$\Lambda$ es la matriz de $S$ "después de un cambio de base".