¿Es el isomorfismo natural en un adjunto determinado únicamente por el par de functores adjuntos

Question

Un adjunto es un triple$(F, U, \zeta)$, dónde

• $F\colon C\to D$ y $U\colon D\to C$ son functores y
• $\zeta$ es un isomorfismo entre los functores $\operatorname{Hom}(-, U(-))$ y $\operatorname{Hom}(F(-), -)$.

¿Puede suceder que para los functors $F\dashv U$ hay dos isomorfismos naturales diferentes $\zeta$ y $\zeta'$ tal que $(F, U, \zeta)$ y $(F, U, \zeta')$ son adjuntos?

Que diferente puede $\zeta$ y $\zeta'$¿ser? Por ejemplo, cada adjunto$(F, U, \zeta)$ induce una equivalencia entre las subcategorías

• $C_{\zeta}:=\{A\in C\mid \eta_A\colon A\to U(F(A))\text{ is an isomorphism}\}\leq C$
• $D_{\zeta}:=\{B\in D\mid \epsilon_B\colon F(U(B))\to A\text{ is an isomorphism}\}\leq D$,

dónde $\eta$ y $\epsilon$ son la unidad y el recuento inducidos por $\zeta$, respectivamente.

¿Puede suceder que $C_{\zeta}\neq C_{\zeta'}$ y $D_{\zeta}\neq D_{\zeta'}$?

Answer 1

Dado un funtor $U:\mathcal D\to\mathcal C$, un adjunto izquierdo $F$ (más la unidad adjunta) se puede definir mucho más localmente: si para cada $x\in\mathcal C$, tenemos un objeto inicial $\eta_x:x\to U(F_x)$en la categoría de coma $(x\downarrow U)$, entonces podemos fijar una elección de tal objeto inicial para cada $x$ y compilarlos en un adjunto izquierdo $F:\mathcal C\to\mathcal D$ inducido enviando $x\mapsto F_x$, donde estará la unidad adjunta $\eta_x$. Esto se discute aquí en la proposición 1.9 .

En particular, si para algunos $x\in\mathcal C$ una opción de $\eta_x:x\to U(F_x)$es un isomorfismo, entonces todas las opciones posibles de la unidad$\eta'_x:x\to U(F_x')$deben ser isomorfismos, porque los objetos iniciales son únicos hasta un isomorfismo único. En particular, para dos isomorfismos naturales cualesquiera$\zeta,\zeta':\operatorname{Hom}(-,U(-))\to\operatorname{Hom}(F(-),-)$, tendremos $\mathcal C_\zeta=\mathcal C_{\zeta'}$. Dualmente, también tenemos$\mathcal D_\zeta=\mathcal D_{\zeta'}$.

Sin embargo, esto también revela que la elección de la unidad y el recuento son componentes únicamente únicos hasta un isomorfismo único (en la categoría de coma apropiada) y, por lo tanto, no son estrictamente únicos. Dado que la unidad y el recuento están determinados únicamente por el isomorfismo natural$\zeta:\operatorname{Hom}(-,U(-))\to\operatorname{Hom}(F(-),-)$ (en particular, $\eta_x:x\to U(F(x))$ es la preimgae debajo $\zeta$ de $\operatorname{id}:F(x)\to F(x)$ y $\epsilon_y:F(U(y))\to y$ es la imagen debajo $\zeta$ de $\operatorname{id}:U(y)\to U(y)$), esto muestra que el isomorfismo natural $\zeta$será no ser único, ya sea.