Es $\sup_{n\in N} E[X_n] < \infty$?

Question

Aquí está el problema:

Dejar {$X_n$}$_{n\geq0}$ser una secuencia decreciente no negativa de RV, es decir$X_n\leq X_{n-1}$,$\forall n \geq1$, tal que$P(0\leq X_0<\infty)=1$.

¿Es cierto que$\sup_{n\geq1}E(X_n)<\infty$? Y si$E(X_0)<\infty?$

pues si es cierto eso$\sup E(X_n)\leq E(\sup X_n)$, entonces hemos terminado desde$\sup_{n\geq1}X_n=X_1$, y en ese caso podemos decir que$\sup_{n\geq1}E(X_n)<\infty$Si$E(X_0)<\infty$, por el teorema de la convergencia monótona. Así que diría que no a la primera pregunta y sí a la segunda.

¿Tengo razón? es la desigualdad$\sup E(X_n)\leq E(\sup X_n)$generalmente cierto para secuencias monótonas?

Como siempre, muchas gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

$EX_n$está disminuyendo.$sup_{n\geq 1} EX_n=EX_1$asi que$sup_n EX_n<\infty$si y si$EX_1 <\infty$. Pero$P(0\leq X_0 <\infty)=1$no implica que$EX_1 <\infty$pero si$EX_0 <\infty$entonces$EX_1<\infty$también.