¿Es una línea vertical inyectiva?
Prácticamente solo el título. Obviamente, una línea vertical no es una función (no pasa la prueba de la línea vertical), pero técnicamente pasa la prueba de la línea horizontal para la inyectividad. Pero pensé que un mapa inyectivo necesitaba tener distintas salidas correspondientes a distintas entradas, que una línea vertical no tiene (múltiples salidas y para nuestra entrada x). ¿O un mapa inyectivo también tiene que ser una función por definición?
Respuestas
Como notó, una línea vertical no es una función y por lo tanto no tiene sentido discutir la inyectividad para ella, que se define usando precisamente el concepto de mapa, es decir
$$f(a)=f(b) \implies a=b$$
En cierto sentido, también podríamos afirmar que la línea vertical es sobreyectiva, pero también esta afirmación no tiene sentido por la misma razón.
Consulte también
- ¿Qué es exactamente una función?
La inyectividad como la sobrejetividad es una propiedad de las funciones y, como ha notado, la línea vertical no es la gráfica de una función. Dicho esto, puedo definir una función que tiene la imagen de una línea vertical mediante una función de$\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}^2$ paramétricamente por $x = c, y = t$ con $c$ una verdadera constante y $t$una variable real. En este contexto, la línea sería la imagen de una función inyectiva. En su lugar podemos usar$y=kt$ para algunos reales $k\neq 0$ y esta parametrización también será una función inyectiva con la misma imagen, la línea vertical a través $x=c$.
Creo que depende de lo que usted defina como "inyectivo" en el sentido de algo que no es una función.
Se podría argumentar que "inyectivo" habla de mapeos y si algo no es una función, no tiene sentido hablar de que es inyectivo. Lo suficientemente justo.
Pero también podrías decir que si $F \subset X\times Y$ Entonces sí $F$ tal que si $(a,w)\in F$ y $(b,w)\in F$ entonces eso solo es posible de $a=b$es una definición válida de inyectivo. Entonces, si la línea vertical es$F = \{(c,y)|y\in \mathbb R\}$ y si $(a,w)\in F, (b,w)\in F$ luego $a=b=c$ a pesar de $w$entonces la línea es inyectiva. Suficientemente justo.
Pero se puede decir que el latín significa inyectivo en, por lo que significa que graficamos todo en. (Esto sería compatible con biyectiva = inyectiva y sobreyectiva; sería difícil decir que una línea vertical es "biyectiva" cuando para y$x \ne c$ no podemos tener ninguno $(x,\sim)$.) Así que lo necesitamos porque si no hay $(m,w)\in F$ para algunos $m \in X$ luego $m$no está registrado en absoluto. por lo que la definición de inyección debe incluir ese aspecto. Entonces como un subconjunto$\{c\}\times \mathbb R$ la línea es inyectiva pero como un subconjunto de $\mathbb R\times \mathbb R$no lo es. Nota: para esta definición de inyectable$F= \{(x,y)| x = \tan(y)\}$será inyectable pero ciertamente no una función. (Para cualquier$x$ habrá una $y = \arctan x$ entonces $(x, y)\in F$. Y si$(a, y),(b,y) \in F$ luego $a = b =\tan y$. Pero ciertamente no es una función como$(x, \arctan x)$ y $(x, \pi + \arctan x)$ ambos están en $F$ por lo que no tenemos la condición de entrada única / salida única).
Yo diría que para todos los propósitos prácticos "inyección" solo se refiere a una función y si algo no es una función olvídalo. Después de todo, ¿por qué causar problemas?