espacio perfectamente normal

Question

Si $X$ es un espacio topológico de Hausdorff, decimos que $X$ es perfectamente normal si, para cada conjunto cerrado $A$, existe una función continua $f_A:X\rightarrow[0,1]$ tal que $f_A^{-1}(0)=A$.

Demuestre que los espacios perfectamente normales son normales.

Mi esfuerzo: supongamos $A$ y $B$son dos conjuntos cerrados disjuntos. Definir$g=\frac{f_A}{f_A+f_B}$. $g(x)=0$ si y solo si $x\in A$y $g(x)=1$ si y solo si $x\in B$.

Mientras pueda probar $g:X\rightarrow [0,1]$es continuo, he terminado. Pero no sé cómo demostrar que es continuo.

Answer 1

Otra forma puede ser ver tu mapa. $g$ como la siguiente composición

$g=G\circ (f_A,f_B)$ dónde

$(f_A,f_B): X\to [0,1]\times [0,1]$

y

$G: E\subseteq [0,1]\times [0,1]\to [0,1]$

dónde $E=\{(x,y): x\neq 0 \textit{ or } y\neq 0\}$

Y el mapa es $G(x,y):= \frac{x}{x+y}$

que es continuo en su dominio. Este mapa es continuo por el mismo razonamiento de Kavi Rama Murthy.

Answer 2

$f_A(x)+f_B(x) \geq 0$ y $f_A(x)+f_B(x) = 0$ si y solo si $f_A(x)=f_B(x)=0$ si y solo si $x \in A$ y $x\in B$lo cual es imposible. Por lo tanto$g$es la razón de dos funciones continuas en las que el denominador nunca desaparece. Esto implica que$g$ es continuo.