¿Este operador es continuo?
Dejar $I=[0,1]$ y $E$un espacio de Banach. Notamos por$X:=\mathcal {C}(I,E), $ el espacio de todas las funciones continuas desde $I$ a $E$, con $\left \| x \right \|_X=\sup_{t\in I }\left \| x(t) \right \|_E $.
Dejar $f:I\times E\rightarrow E$ una función tal que:
Para cada continuo $x\in X$, tenemos $f(.,x(.))$es Pettis integrable en$I$,
para cada $t \in I,\:\: f_t: E \rightarrow E,\:u \mapsto f_t(u):=f(t,u) \text{ is continuous}.$
Dejar $$T: X \rightarrow X,\:x \mapsto T(x)(t):=\int_{0}^{t}f(s,x(s)) ds$$
Reclamo :$T$ es continuo.
Así es como traté de resolver esto :
Para $t\in I,\:f_t$ es continuo, es decir,
para cada $u\in E$, $\forall \epsilon>0 , \exists \eta_{t,u,\epsilon}>0 \text{ such that } \forall v\in E$ $$\left \|u-v \right \| \leq \eta_{t,u,\epsilon} \Rightarrow \left \| f(t,u)-f(t,v) \right \| < \epsilon $$
Ahora deja $t\in I$, $\epsilon >0$ , y $x\in X$. Dejar$y\in X$ tal que $$\left \| x-y \right \|_X\leq \eta_{t,x(t),\epsilon}\;,$$
es decir $$\forall s\in I,\:\left \| x(s)-y(s) \right \|_{E\times E}\leq \eta_{t,x(t),\epsilon}\;,$$ En particular, $$\left \| x(t)-y(t) \right \|_{E\times E}\leq \eta_{t,x(t),\epsilon}\;.$$
Por eso, $$\left \| f(t,x(t))-f(t,y(t)) \right \| < \epsilon \quad(*) $$
Entonces, $$\begin{matrix} \left \| T(x)(t)-T(y)(t) \right \| & = &\left \| \int_{0}^{t} f(s,x(s))-f(s,y(s)) ds\right \| \\ & \leq & \int_{0}^{t} \left \| f(s,x(s))-f(s,y(s)) ds\right \| \quad(**)\\ \end{matrix}$$
desafortunadamente, no puedo usar $(*)$ en $(**)$ porque $(*)$ no uniformemente en $t$.
¿Es cierta nuestra afirmación? ¿Por qué?
Si no, ¿cuál es la condición en $f_t$ que sugieres en lugar de continuidad?
Respuestas
No tengo un contraejemplo, sino un fuerte sentimiento de que la conjetura es falsa, basada en la siguiente prueba positiva.
Si necesita un poco más, es decir, la integrabilidad de Lebesgue de $t\mapsto f(t,x(t))$ para cada $x\in Z=L_\infty([0,1],E)$, entonces es bien sabido que el operador de superposición $F(x)(t)=f(t,x(t))$ es "automáticamente" continuo desde $Z$ dentro $Y=L_1([0,1],E)$ (porque $f$ es una función Carathéodory, y $Y$es un espacio ideal regular), ver, por ejemplo, el teorema 5.2.1 en M. Väth, espacios ideales, Springer, 1997 .
Esto implica la continuidad de $T\colon Z\to X$, porque si $x_n\to x$ en $X$ luego $x_n\to x$ en $Z$, y entonces
$$\lVert T(x_n)-T(x)\rVert_X\le\lVert F(x_n)-F(x)\rVert_Y\to0\text.$$
No estoy seguro de si la continuidad automática de $F$ sostiene también en caso $Z=C([0,1],E)$, pero recuerdo que ese resultado se citó en caso de $E=\mathbb R$y no pude acceder a él. Sin embargo, probablemente la prueba mencionada anteriormente se pueda modificar directamente para ese caso.
De todos modos, la prueba en el caso "más simple" $Z=L_\infty([0,1],E)$ ya depende de una aplicación sutil del teorema de convergencia de Vitali (mucho más sutil que el simple intento en la pregunta), y es difícil imaginar que haya alguna prueba que venga sin usar algún tipo de equi-integrabilidad de la secuencia $F(x_n)$. Dado que esto último es exactamente lo que le falta para la integrabilidad de Pettis, me sorprendería mucho que la afirmación fuera cierta.