Estimador consistente - ¿consistente con qué exactamente?
Supongamos que el DGP real (datos del mundo real) se genera a partir del modelo:
$$y_i = \beta_0 + \beta_1x_{1i} + \beta_2x_{2i} + \varepsilon_i$$
Asumamos además, que $x_1$ y $x_2$están correlacionados. Precisamente,$x_1$es una variable de confusión , que causa $x_2$:
$$x_{2i} = \alpha_0 + \alpha_1 x_{1i} + u_i$$
El investigador no conoce la información anterior, está seguro, que el modelo verdadero tiene una sola variable y asume la siguiente forma funcional:
$$ y_i = \gamma_0 + \gamma_2x_{2i} + v_i $$
¿Qué podemos decir nosotros, que lo sabemos todo, sobre la consistencia del estimador? $\hat \gamma_2$?
- Es inconsistente, porque el estimador consistente tiene un límite en el 'parámetro del mundo real', que en este caso es $\beta_2$.
- Es consistente, porque el estimador consistente tiene un límite en los parámetros del 'modelo asumido'. En este caso$\gamma_2$. Es el modelo, que no se ajusta al mundo real, no el estimador.
Veo estas dos posibilidades. ¿Cuál es (más) cierto y qué es más importante ? ¿ Por qué ?
Respuestas
Ninguno. Un estimador es consistente para algún parámetro , por lo que en este caso la respuesta es
- Si, $\hat\gamma_2$ es consistente para $\beta_2$
- No, $\hat\gamma_2$ no es consistente para $\gamma_2$ (o por $\beta_0$ o muchas otras cosas).
En este caso, las suposiciones causales sugieren que estaría más interesado en si fue consistente para $\gamma_2$, pero aún debe decir "coherente para $\gamma_2$", no solo" consistente ". Lo mismo ocurre con" sesgado "e" insesgado ": un estimador está sesgado o insesgado para un parámetro
A veces, realmente solo hay un límite interesante, y es un abuso razonable de la notación dejarlo implícito, pero una afirmación de coherencia requiere especificar el límite.