Evalúe el siguiente límite trigonométrico:

Question

Pregunta: evalúe el siguiente límite $$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{\sin \left\{\frac{2}{n}\right\}}{\left[2 n \tan \frac{1}{n}\right]\left(\tan \frac{1}{n}\right)}+\frac{1}{n^{2}+\cos n}\right)^{n^{2}}$$ aquí {} y [] denotan la función de parte fraccionaria y la función de número entero mayor respectivamente.

Respuesta: La respuesta a esta pregunta se da como $1$, el problema proviene de un conjunto de problemas de práctica avanzada de JEE.

Mi enfoque: me di cuenta de que este es el $1^{\infty}$ formulario, así que traté de convertirlo en el formulario $$e^{\lim_{{n}\rightarrow{\infty}}n^{2}.G(n)}$$ aquí $G(n)$ es la función entre paréntesis, después de este paso no puedo continuar como el límite en el poder de $e$ es muy complicado y no se puede convertir en una forma estándar, por favor ayude.

Answer 1

Utilizando $\{x\}=x-\lfloor x\rfloor$, tenemos para $n>2$

$$\begin{align} \sin(\{2/n\})&=\sin\left(2/n-\lfloor2/n\rfloor\right)\\\\ &=\sin(2/n)\cos(\lfloor2/n\rfloor)-\cos(2/n)\sin(\lfloor2/n\rfloor)\\\\ &=\sin(2/n)\\\\ &=2\sin(1/n)\cos(1/n) \end{align}$$

Además, para $n>2$, $\lfloor2n \tan(\frac1n)\rfloor=2$.

Por tanto, podemos escribir para $n>2$

$$\begin{align} \left(\frac{\sin(\{2/n\})}{\lfloor2n \tan(\frac1n)\rfloor \tan(1/n)}+\frac1{n^2+\cos(n)}\right)^{n^2}&=\left(\cos^2(1/n)+\frac1{n^2+\cos(n)}\right)^{n^2}\\\\ &=\left(1+O\left(\frac1{n^4}\right)\right)^{n^2} \end{align}$$

con lo cual dejando $n\to \infty$ produce el codiciado límite

$$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{\sin(\{2/n\})}{\lfloor2n \tan(\frac1n)\rfloor \tan(1/n)}+\frac1{n^2+\cos(n)}\right)^{n^2}=1$$