Evolución temporal de la función Wigner
La función Wigner se define como: $$W(x,p,t)=\frac{1}{2\pi\hbar}\int dy \rho(x+y/2, x-y/2, t)e^{-ipy/\hbar}\tag{1}$$ Dónde $\rho(x, y, t)=\langle x|\hat{\rho}|y\rangle$. Se supone que debo encontrar la evolución temporal de la función de Wigner para el oscilador armónico a partir de la ecuación de evolución de von Neumann dada por:$$i\hbar\frac{\partial \rho}{\partial t}=\left[H,\rho\right].\tag{2}$$No estoy seguro de cómo empezar, porque la ecuación de evolución de von Neumann involucra el conmutador del hamiltoniano y el operador de interés. Sin embargo, la función Wigner es una función, ¿cómo puedo evaluar el conmutador?
Respuestas
Partiendo de la ecuación de von Neumann: $$i\hbar\partial \hat{\rho} / \partial t=[\hat{H}, \hat{\rho}]$$ Ahora tomamos la Transformada de Weyl en ambos lados y notamos que la derivada parcial conmuta con la transformada y el conmutador se asigna al soporte de Moyal: $$i\hbar\partial \tilde{\rho} / \partial t=-2i\tilde{H} sin(\hbar \Lambda/2) \tilde{\rho}$$ donde la tilde implica que la transformada de Weyl del operador y $\Lambda = \frac{\partial}{\partial p}\frac{\partial}{\partial x}-\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial}{\partial p}$Donde la primera derivada parcial actúa a la izquierda y la segunda a la derecha. Ahora se puede demostrar que la transformada de Weyl del hamiltoniano del oscilador armónico es justo$\tilde{H}=p^2/2m+m\omega^2x^2$ Ahora expandiendo la función seno en una serie de Taylor obtenemos: $$i\hbar\partial \tilde{\rho}=-2i\left((p^2/2m + m\omega^2 x^2)\left(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\left(\frac{\hbar}{2}\right)^{2n+1}\left(\frac{\partial}{\partial p}\frac{\partial}{\partial x}-\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial}{\partial p}\right)^{2n+1}\right)\tilde{\rho}\right)$$ Ahora expresamos el primer término de la suma por separado y obtenemos: $$i\hbar\partial \tilde{\rho}=-2i\left((p^2/2m + m\omega^2 x^2)\left(\left(\frac{\hbar}{2}\right)\left(\frac{\partial}{\partial p}\frac{\partial}{\partial x}-\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial}{\partial p}\right)+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\left(\frac{\hbar}{2}\right)^{2n+1}\left(\frac{\partial}{\partial p}\frac{\partial}{\partial x}-\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial}{\partial p}\right)^{2n+1}\right)\tilde{\rho}\right)$$
Ahora aplicando el primer término de la suma obtenemos: $$i\hbar\partial \tilde{\rho}=-i\hbar\left((p/m\frac{\partial}{\partial x} - 2 m\omega^2 x\frac{\partial}{\partial p})\tilde{\rho}+\tilde{H}\left(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\left(\frac{\hbar}{2}\right)^{2n+1}\left(\frac{\partial}{\partial p}\frac{\partial}{\partial x}-\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial}{\partial p}\right)^{2n+1}\right)\tilde{\rho}\right)$$
El término de la izquierda y los dos primeros términos de la derecha fuera de la suma se parecen precisamente a la ecuación de Lioville. Dado que el oscilador armónico hamiltoniano es cuadrático en$x$ y $p$ y no tiene términos de orden superior, los términos de orden superior desaparecen, dejándonos con:
$$\partial \tilde{\rho}+(p/m\frac{\partial}{\partial x} + 2 m\omega^2 x\frac{\partial}{\partial p})\tilde{\rho}=0$$