Explicando las derivadas direccionales
Estoy tratando de entender el concepto de derivada direccional, desde la perspectiva de mi libro de texto de cálculo multivariable. Escribí un resumen de la explicación, con las preguntas que no pude responder en negrita. Cualquier respuesta intuitiva, geométrica o física es bienvenida. Las respuestas formales y rigurosas también son bienvenidas. ¡Las explicaciones parciales (respondiendo solo una de las preguntas, etc.) también son bienvenidas!
Considere el problema de calcular la tasa de cambio de $\phi$en alguna dirección particular. Para un desplazamiento vectorial infinitesimal$d \mathbf{r},$ formando su producto escalar con $\nabla \phi$ obtenemos $$ \begin{aligned} \nabla \phi \cdot d \mathbf{r} &=\left(\mathbf{i} \frac{\partial \phi}{\partial x}+\mathbf{j} \frac{\partial \phi}{\partial y}+\mathbf{k} \frac{\partial \phi}{\partial z}\right) \cdot(\mathbf{i} d x+\mathbf{j} d y+\mathbf{k} d x) \\ &=\frac{\partial \phi}{\partial x} d x+\frac{\partial \phi}{\partial y} d y+\frac{\partial \phi}{\partial z} d z \\ &=d \phi \end{aligned} $$ que es el cambio infinitesimal en $\phi$ en ir de posición $\mathbf{r}$ a $\mathbf{r}+d \mathbf{r} .$ En particular, si $\mathbf{r}$ depende de algún parámetro $u$ tal que $\mathbf{r}(u)$ define una curva espacial, entonces la derivada total de $\phi$ con respecto a $u$ a lo largo de la curva es simplemente $$ \frac{d \phi}{d u}=\nabla \phi \cdot \frac{d \mathbf{r}}{d u}. $$ Pregunta 1: ¿Cómo obtuvimos esto? ¿Debería dividir ambos lados de$\nabla \phi \cdot d \mathbf{r} = d\phi$ por $du$? Ni siquiera sé si es una operación válida. En el caso particular donde el parámetro$u$ es la longitud del arco $s$ a lo largo de la curva, la derivada total de $\phi$ con respecto a $s$ a lo largo de la curva viene dada por $$ \frac{d \phi}{d s}=\nabla \phi \cdot \hat{\mathbf{t}} $$ dónde $\hat{\mathbf{t}}$es la unidad tangente a la curva en el punto dado. Pregunta 2: Entonces, ¿por qué no$\frac{d \phi}{d s} = 0$? Seguramente$\nabla \phi$ es perpendicular / tangente a la superficie de $\phi$, por lo que será perpendicular a $\hat{\mathbf{t}}$! En general, la tasa de cambio de$\phi$ con respecto a la distancia $s$ en una dirección particular a viene dada por $$ \frac{d \phi}{d s}=\nabla \phi \cdot \hat{\mathbf{a}} $$ (Pregunta 3: (pregunta más candente) No tengo idea de cómo obtener / entender, el resultado anterior / por qué se cumple el resultado anterior. Además, ¿debo pensar $\nabla \phi \cdot \hat{\mathbf{a}} = \nabla \phi \cdot \hat{\mathbf{t}}?$) y se llama derivada direccional. Ya que$\hat{\mathbf{a}}$ es un vector unitario que tenemos $$ \frac{d \phi}{d s}=|\nabla \phi| \cos \theta $$ dónde $\theta$ es el ángulo entre $\hat{\mathbf{a}}$ y $\nabla \phi$. Claramente$\nabla \phi$ se encuentra en la dirección del aumento más rápido en $\phi$ y $|\nabla \phi|$ es el mayor valor posible de $d \phi / d s$. Pregunta 4: Entiendo que el mayor valor posible de$d \phi / d s$ es cuando $\theta = 0$, que es la dirección de $\nabla \phi$, pero ¿por qué la mayor $\frac{d \phi}{d s}$ implican la dirección del aumento más rápido de $\phi$?
Respuestas
Creo que la mejor manera de entender las fórmulas para la derivada direccional es comprender la derivada total, que es la "mejor" generalización de la derivada en el cálculo de una sola variable. Una función$\varphi:\mathbb R^n\to \mathbb R^m$ se llama totalmente diferenciable en $x_0$ si hay un mapa lineal $L:\mathbb R^n\to \mathbb R^m$ tal que $f(x)\approx f(x_0)+L(x-x_0)$. La definición específica de$\approx$ no es demasiado importante en este momento.
Este mapa lineal $L$ se llama el diferencial (total) de $f$ a $x_0$. La mayoría de los conceptos importantes del cálculo multivariable se reducen al diferencial total. El jacobiano de una función es la representación matricial del diferencial total. La transposición del degradado también. Y en el cálculo de una sola variable, la representación de la matriz tendría una sola entrada, que es la derivada 1d. Ahora, para una notación inequívoca, escribimos el diferencial total de$f$ a $x_0$ como $\mathrm Df(x_0)$. Necesitaremos esta notación para generalizar la regla de la cadena: si$f$ y $g$ son funciones diferenciables, entonces $f\circ g$ también es diferenciable y sostiene que
$$\mathrm D(f\circ g)(x)=\mathrm Df(g(x))\mathrm Dg(x).$$
Reemplazar $\mathrm Df=f'$ y $\mathrm Dg=g'$para obtener la regla de la cadena 1d. Ahora todas sus fórmulas son aplicaciones de esta regla de cadena generalizada. La derivada direccional de$\varphi$ a lo largo del camino $\mathbf r$ es la derivada de $\varphi\circ\mathbf r$, es decir
$$\mathrm D(\varphi\circ r)=\mathrm D\varphi(\mathbf r)\mathrm D\mathbf r.$$
Con $\mathrm D\varphi=\nabla\varphi$ y $\mathrm D\mathbf r=\partial_u\mathbf r$obtienes todas tus fórmulas. Simplemente elija una parametrización adecuada de la ruta$r$.
Ahora a tus preguntas.
Pregunta 1: Obtienes esto por la regla de la cadena como se mencionó anteriormente.
Pregunta 2: $\mathbf t$ es tangente a la ruta, pero cómo se encuentra la ruta en relación con las superficies equipotenciales de $\varphi$no se menciona en ninguna parte. Podría ser tangente, en cuyo caso la derivada direccional sería de hecho$0$. Pero no tiene por qué ser así.
Pregunta 3: Tu eliges el camino$\mathbf r(u)=\mathbf x_0+u\mathbf a$, y entonces $\partial_u\mathbf r=\mathbf a$. El resto es la regla de la cadena. Y sí, para esta ruta específica, el vector tangente$\mathbf t$ es exactamente $\mathbf a$.
Pregunta 4: Eso es lo que es la derivada direccional: una medida de la tasa de cambio en una determinada dirección. Según la fórmula, es mayor en la dirección del vector de gradiente, porque entonces$\cos\theta=1$. Entonces, el vector de gradiente apunta en la dirección de aumento más rápido.