Filtros de aproximación e IIR

Question

Considere el sistema invariante en tiempo discreto con entrada $x[n]$ y salida $y[n]$ satisfactorio

$$y[n] = \sum_{k=1}^5{x[n-k]}$$

Considere aproximar el sistema deseado con un sistema IIR de segundo orden con función de sistema

$$H^{'}(z)= \frac{1}{1+a_1z^{-1}+a_2z^{-2}}$$

Utilice el siguiente criterio de error:

dónde $h_d$ es la respuesta de impulso deseada. $$E = \sum_{n=-\infty}^{\infty}\left\lvert h_d[n]+a_1h_d[n-1]+a_2h_d[n-2]\right\rvert^2$$

¿Cómo puede ser útil la función de error particular para resolver el sistema de ecuaciones o la respuesta de impulso deseada?

¿Necesito tomar derivada con ambos $a_1$ y $a_2$ y hacer que sea 0 para obtener el sistema de ecuaciones?

Ahora esto es lo que obtengo: $$0 = \sum_{n=-\infty}^{\infty}( h_d[n]h_d[n-1]+a_1h_d[n-1]h_d[n-1]+a_2h_d[n-2]h_d[n-1])$$ y
$$0 = \sum_{n=-\infty}^{\infty}( h_d[n]h_d[n-2]+a_1h_d[n-1]h_d[n-2]+a_2h_d[n-2]h_d[n-2])$$

Ahora, ¿cómo puedo resolver este sistema de dos ecuaciones y cómo puedo aproximar la respuesta de impulso deseada a partir de eso?

Answer 1

Creo que es instructivo tratar de comprender cómo se deriva esta función de error y por qué tiene sentido. Primero, la respuesta de impulso deseada$h_d[n]$ viene dado implícitamente por la relación entrada-salida del sistema deseado:

$$y[n]=\sum_{k=1}^{5}x[n-k]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}h_d[k]x[n-k]\tag{1}$$

La función de error dada es la función de error minimizada por el método de Prony para el diseño de filtros IIR. Intentamos aproximar una función de transferencia dada$H_d(z)$ por un filtro IIR $H(z)=B(z)/A(z)$:

$$B(z)\stackrel{!}{=}H_d(z)A(z)\tag{2}$$

Para el ejemplo dado obtenemos (con $B(z)=1$)

$$1\stackrel{!}{=}\left(h_d[0]+h_d[1]z^{-1}+\ldots+h_d[N-1]z^{-(N-1)}\right)\left(1+a_1z^{-1}+z_2z^{-2}\right)\tag{3}$$

Para la ecuación $(3)$ Para estar satisfecho, necesitamos todos los coeficientes asociados con potencias negativas de $z$ para desaparecer:

$$\begin{align}h_d[1]+h_d[0]a_1&\stackrel{!}{=}0\\ h_d[2]+h_d[1]a_1+h_d[0]a_2&\stackrel{!}{=}0\\ h_d[3]+h_d[2]a_1+h_d[1]a_2&\stackrel{!}{=}0\\\vdots\end{align}\tag{4}$$

En la práctica, podemos resolver $(4)$ de forma aproximada minimizando la suma de los cuadrados del lado izquierdo, lo que lleva a la función de error dada

$$E=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\big(h_d[n]+h_d[n-1]a_1+h_d[n-2]a_2\big)^2\tag{5}$$

Finalmente, los coeficientes óptimos $a_1$ y $a_2$ se obtienen tomando la derivada de $(5)$ wrt $a_1$ y $a_2$y equipararlos a cero. Esto da como resultado dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.