Formas de conexión
Encuentro el siguiente párrafo en el libro Manifolds and diferencial geometry de Jeffrey M. Lee (sección 12.2 Formularios de conexión, página 506):
Dejar $\pi : E \longrightarrow M $ ser un paquete vectorial de rango r con una conexión $\nabla$. Recuerde que la elección de un campo de marco local sobre un conjunto abierto$U \subset M $ es equivalente a una banalización de la restricción $\pi_U : {E|}_U \longrightarrow U . $ Es decir, si $ \phi = (\pi, \Phi)$ es una trivialización sobre U, luego definir $e_i(x)= \phi ^{-1}(x,e_i)$, dónde $(e_i)$ es la base estándar de $\mathbb{F}^n$, tenemos un campo de marco $(e_1,...,e_k).$Ahora examinamos la expresión de una derivada covariante dada desde el punto de vista de dicho campo local. No es difícil ver que para cada campo de marco de este tipo debe haber una matriz de formas 1$\omega = {(\omega_j^i)}_{1≤i,j≤r}$ tal que para $X \in \Gamma(U,E)$ podemos escribir $$\nabla_Xe_j =\sum\limits_{i=1}^k {\omega_j^i}(X)e_i$$
Mi pregunta es ¿cómo se puede probar la existencia de tal matriz de formas 1?
Respuestas
Lo sabemos $\nabla_Xe_i$ es una sección suave de $E$y trabajando localmente sobre un marco $(U,e_1,\ldots, e_k)$ como eres tenemos $$ \nabla_Xe_i=\sum_{j=1}^n \omega^j_i(X)e_j$$ dónde $\omega^j_i:\mathfrak{X}(U)\to C^\infty(U).$ Es fácil de ver usando $\nabla_{aX+bY}=a\nabla_X+b\nabla_Y$ ese $\omega^j_i$ es lineal, pero más cierto. $\omega^j_i$ es tensorial porque $\nabla_{fX}=f\nabla_X$ de modo que $\omega^j_i(fX)=f\omega^j_i(X)$. Por lo tanto,$\omega^j_i$ es un suave $(0,1)-$campo tensor sobre $U$. Eso es el$(\omega_j^i)$ formar un $k\times k$ variedad de suave $1-$formas sobre $U$.
Editar: Esto es para abordar la pregunta que surgió en los comentarios.
Quieres expresar la matriz $(\omega_j^i)_{i,j}$definido localmente como una sección de un paquete de endomorfismos. Es posible definir formas diferenciales valoradas en paquetes vectoriales. En realidad, esto no es tan difícil. En una trivialización local de$E$ dada por $(U,e_1,\ldots, e_r)$ un $E-$diferencial valorado $k-$la forma es una expresión de la forma $\eta=\eta^1\otimes e_1+\cdots +\eta^r\otimes e_r$ para cada $\eta^i$ un $k-$formar. Es decir, tenemos un$k-$forma delante de cada elemento del marco, de modo que dado $X_1,\ldots, X_k$ campos vectoriales en el mismo vecindario abierto, $$ \eta(X_1,\ldots, X_k)=\sum_{i=1}^r \eta^i(X_1,\ldots,X_k)e_i$$ define una sección de $E$ encima $U$. Con todo esto dicho, si$E$ es localmente trivial con $e_1,\ldots, e_r$ un marco local, entonces $\operatorname{End}(E)$ también está trivializado, con un marco dado por las matrices estándar $E_{i,j}$ (todos los ceros excepto un $1$ en el $(i,j)$posición). Es decir,$E_{i,j}$ representa el envío de la transformación $e_j\mapsto e_i$ y todos los demás $e_k\mapsto0$. Entonces un$\operatorname{End}(E)-$valorado $k-$forma es exactamente una suma de la forma $$ \sum_{i,j}\underbrace{\eta^{i,j}}_{\in \Omega^k(U)}E_{i,j}= \begin{bmatrix} \eta^{1,1}&\cdots& \eta^{1,r}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \eta^{r,1}&\cdots& \eta^{r,r} \end{bmatrix}.$$ En el caso donde $k=1$, esto se llama $\operatorname{End}(E)-$valorado $1-$formar. Tenga en cuenta que este es un caso especial de la construcción general para paquetes vectoriales, ya que$\operatorname{End}(E)$es un paquete de vectores. Esto es a lo que se refiere el autor como$\mathcal{A}^1(-,\operatorname{End}(E))$.