Funcionales lineales $\varphi[h]=\lambda\psi[h]$, Variaciones

Question

Del cálculo de variaciones, G&F , el problema es: Dados dos lineales funcionales$\varphi,\psi$ sobre un espacio lineal $R$ tal que $\varphi[h]=0\iff\psi[h]=0$. Muestra que hay una constante$\lambda$ tal que $$\varphi[h]=\lambda\psi[h]\tag{1}\label{eq1}$$

Dejar $S\subset R$ el set donde $\varphi,\psi$ambos son cero. Lo que tengo hasta ahora es: dejar$\bar{h}:=\{k\in R:h-k\in S\}$ entonces existe $\lambda_h$ tal que $\varphi[k]=\lambda_h\psi[k]$ para cada $k\in\bar{h}$, dividiendo así $R$en conjuntos disjuntos donde \ eqref {eq1} se mantiene localmente. Esto es lo que tengo. Me siento muy cerca de completar la solución, pero no puedo verlo de inmediato. Gracias

Answer 1

El núcleo de un funcional lineal distinto de cero siempre tiene codimensión$1$, debido al primer teorema del isomorfismo.
Significa que si$x\in R\setminus S$ es cualquier elemento, junto con $S$ ya abarca todo el espacio, de modo que $R={\rm span}(x)\oplus S$.
Arregle tal$x$.

Por supuesto, toma $\lambda:=\frac{\varphi(x)}{\psi(x)}$, como hiciste 'localmente en $x$'.

Para cualquier escalar $\alpha$ y $s\in S$ tenemos $$\lambda\psi(\alpha x+s)=\lambda\alpha\psi(x)=\alpha\varphi(x)=\varphi(\alpha x+s)\,.$$