Generalidad del producto interior

Question

Un producto interno en un espacio vectorial. $V$ (sobre el campo $F$ ) es una función $V \times V \to F$, que se asocia a cada par de vectores $\bar{x},\bar{y}$ de $V$ una cantidad escalar $\langle \bar{x},\bar{y}\rangle$y satisface las siguientes propiedades: $$\langle \bar{x},\bar{x} \rangle>0$$

$$\langle \bar{x},\bar{y}\rangle=\langle \bar{y}, \bar{x} \rangle$$

$$\langle a\bar{x}+b\bar{y},\bar{z}\rangle=a\langle \bar{x},\bar{z}\rangle+b\langle \bar{y},\bar{z}\rangle.$$

Considere el subespacio de todas las funciones continuas en $[a,b]$ ; $\Bbb{C}$. Ahora, suponga que tenemos algún enunciado que involucra productos internos que deseamos probar para vectores$\bar{x}, \bar{y} \in \Bbb{C}.$ Por ejemplo, digamos que elijo usar el siguiente producto interno: $$\langle \bar{x},\bar{y}\rangle=\int_a^bx(t)y(t) dt.$$

Si la afirmación es cierta para este producto interno, entonces también lo es para todos los demás productos internos en$\Bbb{C}$?

Generalmente, cuando se trabaja con productos internos, existe un grado de elección en cuanto a qué tipo de producto interno es conveniente para esa situación en particular, pero ¿qué impacto puede tener esta elección (si es que lo hay)?

Answer 1

No, una afirmación verdadera para un producto interno no es necesariamente verdadera para otro. Por ejemplo, puede utilizar un producto interno para definir una longitud$$ \| x \| = \langle x,x \rangle^\frac12 $$

Debajo del producto interior estándar en $\Bbb R$ (definido por $(x, y) \mapsto xy$), tenemos $$ \| 2 \| = 2 $$por ejemplo. Pero bajo un producto interior diferente,$(x, y) \mapsto 2xy)$, tenemos $$ \| 2 \| = 4. $$ Ahora bien, eso puede parecer bastante artificial, pero puede ser difícil distinguir lo artificial de lo no artificial.