Generalización de funciones simétricas

Question

UN $n$-función variable $f$ es una función simétrica si $$f(x_1,x_2, \ldots, x_n) = f(x_{\sigma(1)}, x_{\sigma(2)}, \ldots, x_{\sigma(n)})$$ por cada permutación $\sigma \in S_n$. En particular, si$f$ es un polinomio, entonces $f$es un polinomio simétrico. Estos objetos se han estudiado extensamente.

Me pregunto si se ha estudiado la siguiente generalización. UN$n^2$-función variable $f$ es un $S_n$-función simétrica si $$f(x_{11}, x_{12}, \ldots, x_{1n}, \ldots, x_{nn}) = f(x_{\sigma(1)\sigma(1)}, x_{\sigma(1)\sigma(2)}, \ldots, x_{\sigma(1)\sigma(n)}, \ldots, x_{\sigma(n)\sigma(n)})$$ por cada permutación $\sigma \in S_n$.

Creo que esos objetos deben haber sido estudiados porque son tan naturales. Pero no conozco las palabras clave y no pude encontrar la literatura.

Estoy muy agradecido si alguien pudiera proporcionar información sobre ellos. Gracias por adelantado.

Answer 1

Dejar $w\in S_n$ (el grupo simétrico) tiene tipo de ciclo $\lambda =(\lambda_1,\dots, \lambda_\ell)\vdash n$, dónde $\ell=\ell(\lambda)$ es la longitud (número de partes distintas de cero) de $\lambda$. Entonces la accin inducida de$w$ en $[n]\times [n]$ (dónde $[n]=\{1,2,\dots,n\}$) tiene enumerador de ciclo $$ \prod_{i=1}^{\ell(\lambda)} \prod_{j=1}^{\ell(\lambda)} z_{\mathrm{lcm}(\lambda_i,\lambda_j)}^{\mathrm{gcd}(\lambda_i,\lambda_j)}. $$ Dejar $f_n(d)$ ser la dimensión del espacio de polinomios complejos en las variables $x_{ij}$, $1\leq i,j\leq n$, que son homogéneos de grado $d$ y $G$-invariante. Luego, por el teorema de Molien,$$ F_n(x):=\sum_{d\geq 0} f_n(d)x^d $$ $$ \ \ = \frac{1}{n!}\sum_{\lambda\vdash n} \frac{n!}{z_\lambda}\prod_{i=1}^{\ell(\lambda)} \prod_{j=1}^{\ell(\lambda)} \frac{1}{\left(1-x^{\mathrm{lcm}(\lambda_i,\lambda_j)}\right)^ {\mathrm{gcd}(\lambda_i,\lambda_j)}}. $$ Estoy usando la notación de función simétrica estándar, entonces $n!/z_\lambda$ es el número de permutaciones en $S_n$ del tipo de ciclo $\lambda$. Por ejemplo,$$ F_1(x) = \frac{1}{1-x} $$ $$ F_2(x) = \frac{1+x^2}{(1-x)^4(1+x)^2} $$ $$ F_3(x) = \frac{1+3x^2+10x^3+16x^4+12x^5+16x^6+10x^7+3x^8+x^{10}} {(1-x)^9(1+x)^4(1+x+x^2)^3}. $$ Apéndice. La teoría invariante de grupos finitos, como la que se puede encontrar aquí , se puede utilizar para obtener más información sobre el anillo.$R$de polinomios invariantes. Por ejemplo, si$S$ es el subanillo de todas las funciones simétricas en el $x_{ij}$entonces $R$ es una libre generada finitamente $S$-módulo de rango $n^2!/n!$.