$h^{p,q}$ de un toro complejo.
Como sabemos, una superficie Kähler compacta con un paquete canónico trivial es una superficie K3 o un toro de dimensión 2. Lo sé $h^{0,2}$ de una superficie K3 es 1, y sé $h^{0,2}$ de un toro no debe ser cero (de lo contrario, siempre es algebraico), pero no sé cómo calcular $h^{0,2}$ de un toro complejo de dimensión 2.
Por cierto, ¿existe un método general para calcular todos los números de Hodge de un toro complejo de dimensión? $n$? ¡Cualquier comentario es bienvenido!
Respuestas
Como usas la etiqueta teoría de Hodge: se puede dar $\mathbb C^n/\Gamma$ la métrica plana de la de $\mathbb C^n$. Por tanto, basta con encontrar todas las formas armónicas.
Dado que los paquetes cotangentes complejos son triviales y están divididos por las formas globales $$dz^1, \cdots dz^n, d\bar z^1\cdots, d\bar z^n,$$ todas $(p, q)$-formas en $\mathbb C^n/\Gamma$ están dados globalmente por $$ \alpha = \alpha_{i_1\cdots i_p j_1\cdots j_q} dz^{i_1}\wedge \cdots \wedge dz^{i_p} \wedge d\bar z ^{j_1} \wedge \cdots \wedge d\bar z^{j_q}.$$
dónde $\alpha_{i_1\cdots i_p j_1\cdots j_q} \in C^\infty (\mathbb C^n/\Gamma)$. Ya que
$$\Delta \alpha = (\Delta \alpha_{i_1\cdots i_p j_1\cdots j_q}) dz^{i_1}\wedge \cdots \wedge dz^{i_p} \wedge d\bar z ^{j_1} \wedge \cdots \wedge d\bar z^{j_q},$$
Si $\alpha$ es armónico, $\alpha_{i_1\cdots i_p j_1\cdots j_q}$deben ser funciones armónicas. Ya que$\mathbb C^n /\Gamma$ es compacto, $\alpha_{i_1\cdots i_p j_1\cdots j_q}$son constantes por principio máximo. Así$H^{p,q}$ está abarcado por $$\{ dz^{i_1}\wedge \cdots \wedge dz^{i_p} \wedge d\bar z ^{j_1} \wedge \cdots \wedge d\bar z^{j_q}\}_{i_1<\cdots<i_p, j_1<\cdots <j_q}.$$
y
$$h^{p,q} = C^n_p C^n_q.$$