Idempotente central primitivo
Estoy leyendo la prueba de este teorema y hay una parte que me molesta un poco. El teorema y la demostración de esa parte (resaltada) se encuentran a continuación.
Prueba de la parte resaltada:
La definición, dada en el texto, de elemento idempotente central primitivo $e$ es si $e$ es central y no tiene una descomposición adecuada como suma de elementos idempotentes centrales ortogonales.
La parte que me confunde es que no veo cómo $e = e e_i + e(1-e_i)$ implica que $ee_i = e_i$ o $ee_i = 0$. Parece que el autor estaba utilizando el hecho de que$e$ es un idempotente central primitivo para concluir esto, pero en el enunciado solo asumimos $e$ es un idempotente central.
Además, suponga que $e$ es un idempotente central primitivo, entonces $e = e e_i + e(1-e_i)$ implicaría que o $ee_i = 0$ o $e(1-e_i) = 0 $ pero esto implicaría que $e = ee_i$ aunque.
Tal vez me esté perdiendo algo trivial aquí, pero no lo veo.
Gracias a todos.
Respuestas
No estoy seguro si el autor tiene un error tipográfico o si a mí me falta algo, pero podemos escribir
$$e_i=ee_i+(1-e)e_i.$$
Esta es una suma de idempotentes centrales ortogonales, y dado que $e_i$es primitivo, uno de los términos es cero. Por lo tanto$ee_i=0$ o $(1-e)e_i=0$, en ese caso $e_i=ee_i$.