Igualar coeficientes de funciones trigonométricas

Question

No entiendo cómo funciona la equiparación / comparación de coeficientes de funciones e identidades trigonométricas. Usaré esta pregunta como ejemplo. La pregunta es la siguiente.

Utilice la definición básica de periodicidad para mostrar algebraicamente que el período de $f(x) = \sin(nx)$ es $\frac{2\pi}{n}$ para todos $n > 0$.

La respuesta que obtuve es la siguiente:

El período de una función $f(x)$ es el más pequeño $p > 0$ tal que $f(x+p) = f(x)$ \ begin {juntar *} \ por lo tanto \ sin [n (x + p)] = \ sin (nx) \\ \ por lo tanto \ sin (nx + np) = \ sin (nx) \\ \ por lo tanto \ sin (nx) \ cos (np) + \ cos (nx) \ sin (np) = \ sin (nx) \ end {collect *} Aquí está la parte en la que necesito ayuda. La respuesta en el libro continúa de la siguiente manera:

Igualar coeficientes de $\sin(nx)$ y $\cos(nx)$, \ begin {juntar *} \ cos (np) = 1, \ sin (np) = 0 \\ \ por lo tanto np = 2k \ pi, k \ subconjunto \ Bbb R \\ \ por lo tanto p = \ frac {2k \ pi } {n}, k \ subconjunto \ Bbb R \ end {reunir *}

No entiendo cómo llegaron a la conclusión de que $\cos(np) = 1$ y eso $\sin(np) = 0$¿Alguien puede explicarme?

Answer 1

Muy simple: en $$\sin nx\cos np+\cos nx\sin np,$$ Las funciones $\sin nx$ y $\cos nx$ (como funciones de $x$) son linealmente independientes.

Answer 2

Tu tercera línea de trabajo es:

$ \therefore \sin(nx) \cos(nx) + \cos(nx)\sin(np) = \sin(nx) $

Sin embargo, ha cometido un "error tonto" aquí. Debería decir

$ \therefore \sin(nx) \cos(np) + \cos(nx)\sin(np) = \sin(nx) $

Ahora lo tenemos resuelto, vea la respuesta de Bernard.

Para una prueba de la respuesta de Bernard, es decir, para demostrar que $\sin(u(x))$ y $\cos(u(x))$son independientes, ver: Independencia lineal de$\sin(x)$ y $\cos(x)$