¿"Infinitamente tantos como ..."?
La siguiente oración es de mi libro de texto de matemáticas discreto:
Cada número racional tiene tantas representaciones infinitas como una razón.
¿Es esto correcto? ¿Hay varios grados de infinitamente muchos o lo estoy entendiendo mal?
Respuestas
Está redactado incorrectamente. Lo que sería correcto es:
Cada número racional tiene infinitas representaciones distintas como razón de números enteros.
Al menos en inglés americano, no creo que esté expresado con la mayor claridad posible. El significado es
Cada número racional se puede representar por cualquiera de un número infinito de fracciones con números enteros en el numerador y denominador.
Un matemático podría decir que
Un número racional puede tener múltiples representaciones, pero se puede expresar de forma única en términos mínimos como p / q, donde q es un número entero positivo, p es un número entero y pyq no comparten factores primos.
La idea es que 1/3, 18/54, -12 / (- 4) son tres de las infinitas representaciones del mismo número que se pueden expresar de la manera más simple como 1/3.
"Cada número racional tiene tantas representaciones infinitas como una razón". De hecho, hay grados de "infinitos ", como demostró Georg Cantor (1845-1918), el "padre de la teoría de conjuntos". Un conjunto de números tiene una cardinalidad , es decir, un número que es el recuento de sus elementos (sus miembros). Esto se aplica a conjuntos de números con miembros 'infinitos', incluso si realmente no podemos contarlos. La cardinalidad del conjunto de números enteros (de los cuales hay un número infinito) es la misma que la del conjunto de números racionales, que, en la teoría de conjuntos de Cantor, se llama ℵ0 ( aleph cero o aleph nulo ). Cantor mostró que el conjunto de números reales, que también tiene un número 'infinito' de miembros, tiene una cardinalidad más alta (hay más de ellos), (no mostraré cómo lo hizo aquí), que se llama ℵ1 ( aleph uno ). Este carácter ℵ es Aleph, la primera letra del alfabeto hebreo.
Cardinalidad (conjuntos infinitos)