Integrales elípticas: ¿existen realmente?
En mi primera pregunta en este sitio web ( Perímetro de una solución de elipse e integrales elípticas ) . Terminé pidiendo una expresión para$$\frac{4}{a}\int_{0}^a\sqrt{(b^2-a^2)x^2+a^4\over ({a^2-x^2})}dx $$ y le dijeron que era una integral elíptica.
EDITAR: Gracias a Angina Seng por proporcionar el enlace de wikipedia. Mi pregunta ahora cambia a, ¿hay alguna prueba de que no se puedan representar mediante funciones elementales?
Respuestas
Tu título y tu pregunta son diferentes.
La integral definida que ha escrito es la integral de una función bastante agradable sobre un dominio razonable, y resulta que existe y es finita. Es un número real que existe, aunque es posible que no pueda calcularlo con precisión con perfecta precisión (un poco como$\pi$ o $\sqrt{2}$ en ese sentido).
Por otro lado, si reemplazó el límite superior de su integral con algún número $c$ con $|c| \le |a|$, entonces tendrías una expresión que da un número para cada posible $c$, que podríamos llamar $F(c)$. Y podría preguntar "¿hay alguna manera de escribir una fórmula para$F$ usando cosas que ya sé? "La respuesta es que, excepto en circunstancias muy excepcionales (por ejemplo, $b = a$), no existe tal fórmula.
Esto no debería ser una sorpresa demasiado grande, aunque puede ser decepcionante. Después de todo, cuando miraste
$$ L(x) = \int_1^x \frac1t ~ dt, $$ tuviste la misma experiencia: está bien definida y es finita para cada $x > 0$, pero no hay una "fórmula" para ello ... así que le dimos un nuevo nombre y lo llamamos $\ln(x)$.
Exactamente lo mismo sucede aquí.
Recuerde que al agregar log a su arsenal de funciones, de repente podría integrar muchas más cosas. Al agregar las funciones integrales elípticas, puede volver a integrar aún más cosas. Y al igual que los logaritmos, las tablas de valores de las integrales elípticas se han escrito para que pueda calcular con una precisión bastante alta, y con las computadoras para ayudar, podemos estimarlas con prácticamente cualquier precisión necesaria.
Para responder a su pregunta modificada: sí, hay pruebas de que ciertas funciones elípticas no son "elementales". ¿Puedo señalarle uno? No de improviso. Supongo que las palabras "base Groebner" tienden a estar involucradas en las pruebas, pero nunca he leído una, así que no estoy seguro.