Intercambio de límite e integral

Question

Dejar $f_m(x) =\lim_{n\rightarrow \infty}\cos(\pi m!x))^{2n}$; sabemos que es una función integrable de Lebesgue y Riemann, y$g(x)=\lim_{m\rightarrow \infty} f_m(x)$, que no es integrable de Riemann sino integrable de Lebesgue. Quiero saber si$$\lim_{m\rightarrow \infty}\int_0^1f_m(x)dx = \int_0^1\lim_{m\rightarrow \infty}f_m(x)dx$$ Conozco una forma de demostrar esto es usar el teorema de convergencia monótono, pero no creo que pueda usarlo aquí ya que $f_m(x)$no es monótono. ¿Alguien me puede ayudar?

Answer 1

Considerando que el coseno es una función acotada, es trivial aplicar el Teorema de convergencia dominada con una función constante, que es integrable de Lebesgue en un intervalo finito. La declaración luego sigue