Interpretación matemática de CNOT

Question

Solía ​​pensar que CNOT invierte las amplitudes del qubit objetivo con la posibilidad de $b^2$ dónde $b$ es el $|1\rangle$amplitud del qubit de control. Esto da como resultado que el estado final (después de CNOT) del qubit objetivo será:$$ \sqrt{a_1^2 a_2^2 + b_1^2 b_2^2} \big|0 \big\rangle + \sqrt{a_1^2 b_2^2 + b_1^2 a_2^2} \big|1 \big\rangle $$ (la intuición es que con probabilidad $a^2$ no hay flip, y con probabilidad $b^2$ocurre un cambio) Pero de hecho, después de dos aplicaciones secuenciales de dicha fórmula en el qubit objetivo, dicho qubit no terminará en el estado inicial. Entonces, o la interpretación superior es incorrecta o me he equivocado con las matemáticas en alguna parte. Si mi interpretación es incorrecta, ¿podría proporcionar una correcta? Si es correcto, ayúdenme a derivarlo en términos de probabilidad y a comprender cómo la matriz unitaria CNOT lo hace funcionar.

Answer 1

Para una sola operación CNOT, el enfoque más simple es pensar en términos de lógica booleana. Matemáticamente, esto generalmente se representa mediante la adición modular, que da la acción de CNOT como$$\vert A, B \rangle \rightarrow \vert A, A \oplus B \rangle,$$ dónde $\vert A, B \rangle$ es el producto tensorial de $\vert A \rangle$ y $\vert B \rangle$y $\oplus$ es la adición mod 2. Si esto le parece extraño, simplemente escriba el $2 \times 2$tabla de verdad y verá que no hay nada complicado aquí (excepto posiblemente alguna notación desconocida). También es fácil ver que$A \oplus A \oplus B = B$, dando el resultado esperado después de la aplicación secuencial.

Otro enfoque es utilizar las herramientas del álgebra lineal y representar CNOT como una transformación unitaria. Dado que CNOT es una operación de dos qubit, la dimensión de la transformación es$2^2=4$, dando $$\vert A, B \rangle \rightarrow U_{CNOT}\vert A,B \rangle, \;\;\; U_{CNOT}=\begin{bmatrix} 1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0 \end{bmatrix}.$$ También vale la pena resolver esto a mano si hay alguna confusión sobre por qué funciona, teniendo en cuenta que $U_{CNOT}{}^2=I$.

Uno de los supuestos problemáticos implícitos en la ecuación OP es que $\vert A \rangle$ y $\vert B \rangle$son separables después de CNOT, lo que generalmente no es cierto. En otras palabras, si$\vert A \rangle$ y $\vert B \rangle$están entrelazados después de CNOT, ya no pueden representarse como una combinación lineal de estados puros. En este punto, las matrices de densidad se vuelven relevantes para evitar lidiar con vectores exponencialmente grandes después de una serie de puertas de varios qubits.

Editar en respuesta al comentario:

Llevada a su fin lógico, su interpretación conduce a una correlación clásica entre los resultados de medición de los dos estados qubit. Los experimentos de Bell y CHSH han demostrado más allá de toda duda que los estados de qubit entrelazados no están correlacionados clásicamente.

Entonces, al menos en los casos en que CNOT crea enredos, su interpretación es inconsistente con el experimento. Desafortunadamente, después de un siglo de debate sobre el tema, todavía no está claro cuál es la interpretación correcta (o incluso si existe tal interpretación). Aún más desafortunadamente, existen numerosas interpretaciones plausibles que son consistentes con el experimento.