Kan reemplazo de finito $\mathbb{Q}$-tipo conjunto simplicial

Question

Lo siento si esta pregunta es quizás un poco básica, pero es sobre un tema bastante especializado, así que creo que es más apropiado para MO que para SE.

Suponer que $X$es un conjunto simplicial que tiene un número finito de simplices no degenerados en cada dimensión simplicial. Entonces por supuesto$X$ tiene finito $\mathbb{Q}$-tipo (es decir $H_n(X;\mathbb{Q})$ es de dimensión finita como $\mathbb{Q}$-espacio vectorial para todos $n\ge1$).

Dejar $Y$ ser una resolución fibrante de $X$, es decir, $Y$ es un complejo de Kan y tenemos una equivalencia débil $X\stackrel{\sim}{\to}Y$. Me gustaría decir eso$Y$ también tiene finito $\mathbb{Q}$-tipo. ¿Es esto cierto?

Aquí es donde me quedo atascado: sabemos que el ser de finito $\mathbb{Q}$-type es equivalente a $\pi_n(Y;\mathbb{Q})$ es de dimensión finita para todos $n\ge2$ y $H_1(Y;\mathbb{Q})$es de dimensión finita. La primera parte de la condición se cumple porque se mantiene durante$X$ y $Y$ es débilmente equivalente a $X$. Sin embargo, no estoy seguro de cómo demostrar que$H_1(Y;\mathbb{Q})$ es de dimensión finita.

¡Cualquier ayuda y / o referencias serán muy apreciadas! También estoy interesado en el caso en el que solo asumimos$X$ para ser de tipo finito (que debería funcionar con la misma prueba, con suerte).

Answer 1

Las equivalencias débiles de conjuntos simpliciales inducen isomorfismos en grupos de homología simplicial. En particular, la propiedad de tener grupos de homología racional de dimensión finita se conserva en equivalencias débiles.

La forma más fácil de probar esto desde cero es observar que el funtor del módulo simplicial libre (en este caso, usamos módulos sobre números racionales) es un funtor de Quillen izquierdo de la estructura del modelo Kan-Quillen en conjuntos simpliciales a la estructura del modelo proyectivo en módulos simpliciales porque el adjunto derecho conserva fibraciones y fibraciones acíclicas. En particular, el funtor del módulo simplicial libre conserva equivalencias débiles porque todos los conjuntos simpliciales son cofibrantes. Por lo tanto, las equivalencias débiles de conjuntos simpliciales se envían a equivalencias débiles de módulos simpliciales, que después de pasar a cadenas normalizadas se convierten en cuasi-isomorfismos de complejos de cadenas, por lo que inducen isomorfismos en grupos de homología.