Límite de función de piso

Question

Desde CMC:

¿Cuál es la suma del cuadrado de los números reales? $x$ para cual $x^2 - 20\lfloor x\rfloor + 19 = 0$?

Usamos $\lfloor x\rfloor\le x<\lfloor x\rfloor+1$ y eventualmente obtener los límites $1\le x\le19$ y $x\ge 18,x\le 2.$ Por supuesto, es posible $x$ no ser un número entero, entonces, ¿cómo encontramos las otras soluciones, además de $19$ y $1$?

Alguien escribió esta solución:

$x^2 - 20\lfloor x \rfloor + 19 = 0$ Cleary $x\geq \lfloor x \rfloor$ por todo real $x$. Así,$$x^2-20x+19 \leq x^2 - 20\lfloor x \rfloor + 19=0.$$ Lo que lleva a $$1 \leq x \leq19.$$también $x^2=20\lfloor x\rfloor - 19$ lo que implica $\lfloor x \rfloor=1,17,18,19$.

No estoy seguro como llegamos $\lfloor x\rfloor=17,18$ de esto.

Answer 1

$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[15px,border:1px groove navy]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ $\ds{\bbox[5px,#ffd]{x^{2} - 20\left\lfloor\,{x}\,\right\rfloor + 19 = 0}\,,\quad x = {\Large ?}}$

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Está claro que $\ds{\left\lfloor x\right\rfloor = {x^{2} + 19 \over 20} = m, \mbox{where}\ m \in \mathbb{N}_{\geq\ 1}\ \mbox{such that}\ x = \root{20m - 19}}$.

Entonces, \begin{align} &\bbox[5px,#ffd]{m = \left\lfloor\,{\root{20m - 19}}\,\right\rfloor} \implies m \leq \root{20m - 19} < m + 1 \\[5mm] & \implies m^{2} \leq 20m - 19 < m^{2} + 2m + 1 \implies \left\{\begin{array}{lcl} \ds{m^{2} - 20m + 19} & \ds{\leq} & \ds{0} \\ \ds{m^{2} - 18m + 20} & \ds{>} & \ds{0} \end{array}\right. \\[5mm] &\ \mbox{with solutions}\quad 1 \leq m <\ \underbrace{9 - \root{61}}_{\ds{\approx 1.1898}}\ \quad\mbox{or}\quad \underbrace{9 + \root{61}}_{\ds{\approx 16.8102}}\ < m \leq 19 \\[5mm] &\ \implies m \in \braces{1,17,18,19} \implies \bbx{x \in \braces{1,\root{321},\root{341},19}} \\ & \end{align} con $\ds{\root{321} \approx 17.9165}$ y $\ds{\root{341} \approx 18.4662}$. Por favor, compruebe$\ds{\color{red}{x < 0}}$.

Answer 2

$$x^2 - 20 \lfloor x \rfloor + 19 = 0$$

La intuición es que las soluciones no se alejan demasiado de las soluciones de $x^2-20x+19=0$, a saber $x=1, 19$. ¡Así que adelante y expresa esa intuición! No estoy acostumbrado a jugar con$x-1 < \lfloor x \rfloor \le x$. Así que vayamos por un método más detallado.

Dejar $n = \lfloor x \rfloor , u = x-n$. Entonces$0\le u < 1$. $$(n+u)^2 - 20n + 19=0.$$ Expandiendo obtenemos $$u^2 + 2nu + (n^2-20n + 19)=0.$$ Lo sabemos $u \in [0,1)$. Entonces esta ecuación debe tener una solución en ese intervalo. ¿Tendrá dos? significaría que la suma de estas dos soluciones es mayor que 0. Pero del teorema de Vieta no es posible. Por lo tanto, hay exactamente 1 solución en el intervalo$[0,1)$. Si esa solución es exactamente 0, entonces$0^2 + 2n\cdot 0 + (n^2-20n+19)=0.$ Entonces $n = 1,19$. Si no, vemos que la función$f_n(u) = u^2 + 2nu + (n^2-20n + 19)$ debe cambiar de signo exactamente una vez en el intervalo $(0,1)$. Entonces$f(0)f(1) < 0.$ Eso significa $$(n^2-20n+19)(n^2-18n + 20)<0,$$ que podemos factorizar: $$(n-19)(n-1)(n-1.1897..)(n-16.8102..) < 0.$$ (En la práctica, no necesita tanta precisión, solo necesita calcular la parte integral). $n$ es un entero, $n=17, 18.$ (¿Puede ver por qué? Lo explicaré más a fondo si lo solicita).

Sustituyendo $n=17$ y $n=18$, obtenemos ecuaciones para $u$respectivamente. Y esto se convierte en ecuaciones cuadráticas regulares.

Answer 3

De $\lfloor x\rfloor=(x^2+19)/20\gt0$, vemos que debemos tener $x\gt0$, por lo tanto $x=\sqrt{20\lfloor x\rfloor-19}$(es decir, la raíz cuadrada positiva, no negativa). Resulta que$x^2-20\lfloor x\rfloor+19=0$ tiene una solución (única) con $\lfloor x\rfloor=n\in\mathbb{Z}^+$ si y solo si $n\le\sqrt{20n-19}\lt n+1$. Con todo a la vista no negativo, tenemos

$$\begin{align} n\le\sqrt{20n-19}\lt n+1 &\iff n^2\le20n-19\lt n^2+2n+1\\ &\iff n^2-20n+19\le0\lt n^2-18n+20 \end{align}$$

La primera desigualdad cuadrática en la última línea nos dice $1\le n\le19$; el segundo nos dice o$n\lt9-\sqrt{61}$ o $n\gt9+\sqrt{61}$, que, desde $7\lt\sqrt{61}$, nos dice ya sea $n\lt2$ o $n\gt16$. Por tanto, tenemos cuatro valores para$\lfloor x\rfloor=n$, a saber $1$, $17$, $18$y $19$, con $20n-19$ para los valores correspondientes de $x^2$. La suma de estos cuadrados es

$$(20\cdot1-19)+(20\cdot17-19)+(20\cdot18-19)+(20\cdot19-19)=20(1+54)-76=1024$$

(El hecho de que la respuesta final resulte ser un poder de $2$ seguramente es pura coincidencia.)