Logaritmo de matrices singulares

Question

Quería calcular la siguiente cantidad:

$X=Tr[\rho_1 \log[\rho_2]]$,

como en la entropía relativa . Aquí,$\rho_1, \rho_2$ son matrices semidefinidas positivas con soporte no ortogonal (para que la cosa no diverja - términos como $0 \log[0]$ debe llevarse a cero, que es una suposición estándar) y $Tr$ es rastro.

Hay una pregunta SE similar , la función dada

MatrixLogSafe[x_] := MatrixFunction[Piecewise[{{Log[#1], #1 > 0}}] &, x]

que debería tratar con el logaritmo matricial, se comporta, sin embargo, extraño.

Por ejemplo, supongo que $\rho_1 =\rho_2 =\{\{0.33,0,0\},\{0,0,0\},\{0,0,0.66\}\}$. La cantidad$X$ entonces debería ser

$X=0.33 \log[0.33] + 0.66 \log[0.66]= -0.640099$.

Sin embargo, el uso de MatriLogSafe en la definición da una salida diferente:

In[402]:= Tr[{{0.33, 0, 0}, {0, 0, 0}, {0, 0, 0.66}}.MatrixLogSafe[{{0.33, 0, 0}, {0, 0, 0}, {0, 0, 0.66}}]]

Out[402]= -0.731717

El problema es que MatrixLogSafe a veces "cambia los vectores propios",

In[403]:= MatrixLogSafe[{{0.33, 0, 0}, {0, 0, 0}, {0, 0, 0.66}}]

Out[403]= {{0., 0., 0.}, {0., -0.415515, 0.}, {0., 0., -1.10866}}

(entonces $\log[0.33]= -1.10866$ y $\log[0.66]=-0.415515$, pero la salida debe ser {{-1.10866, 0, 0.}, {0., 0., 0.}, {0., 0., - 0.415515}}).

(De alguna manera creo que el problema es que yo uso valores numéricos, pero quiero que la función funcione tanto para números numéricos como "exactos" (?))

¿Cómo se puede arreglar?

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He considerado la respuesta dada por Carl Woll, sin embargo, todavía algo no funciona. En particular, considere dos matrices,$\rho_1$:

{{1/4, 1/4 E^(-((I \[Pi])/10)), 1/4 E^(-((I \[Pi])/10)), 1/
  4}, {1/4 E^((I \[Pi])/10), 1/4, 1/4, 
  1/4 E^((I \[Pi])/10)}, {1/4 E^((I \[Pi])/10), 1/4, 1/4, 
  1/4 E^((I \[Pi])/10)}, {1/4, 1/4 E^(-((I \[Pi])/10)), 
  1/4 E^(-((I \[Pi])/10)), 1/4}}

y $\rho_2$:

{{1/4 (1 - 1/Sqrt[E]) + 1/(4 Sqrt[E]), 
  1/4 E^(-(1/2) - (I \[Pi])/10) + 
   1/2 (1 - 1/Sqrt[E]) (1/4 E^(-((I \[Pi])/10)) + 
      1/4 E^((I \[Pi])/10)), 
  1/4 E^(-(1/2) - (I \[Pi])/10) + 
   1/2 (1 - 1/Sqrt[E]) (1/4 E^(-((I \[Pi])/10)) + 
      1/4 E^((I \[Pi])/10)), 
  1/(4 Sqrt[
    E]) + (1 - 1/Sqrt[E]) (1/4 E^(-((I \[Pi])/10)) + 
      1/4 E^((I \[Pi])/10))^2}, {1/4 E^(-(1/2) + (I \[Pi])/10) + 
   1/2 (1 - 1/Sqrt[E]) (1/4 E^(-((I \[Pi])/10)) + 
      1/4 E^((I \[Pi])/10)), 1/4 (1 - 1/Sqrt[E]) + 1/(4 Sqrt[E]), 
  1/(4 Sqrt[
    E]) + (1 - 1/Sqrt[E]) (1/4 E^(-((I \[Pi])/10)) + 
      1/4 E^((I \[Pi])/10))^2, 
  1/4 E^(-(1/2) + (I \[Pi])/10) + 
   1/2 (1 - 1/Sqrt[E]) (1/4 E^(-((I \[Pi])/10)) + 
      1/4 E^((I \[Pi])/10))}, {1/4 E^(-(1/2) + (I \[Pi])/10) + 
   1/2 (1 - 1/Sqrt[E]) (1/4 E^(-((I \[Pi])/10)) + 
      1/4 E^((I \[Pi])/10)), 
  1/(4 Sqrt[
    E]) + (1 - 1/Sqrt[E]) (1/4 E^(-((I \[Pi])/10)) + 
      1/4 E^((I \[Pi])/10))^2, 1/4 (1 - 1/Sqrt[E]) + 1/(4 Sqrt[E]), 
  1/4 E^(-(1/2) + (I \[Pi])/10) + 
   1/2 (1 - 1/Sqrt[E]) (1/4 E^(-((I \[Pi])/10)) + 
      1/4 E^((I \[Pi])/10))}, {1/(
   4 Sqrt[E]) + (1 - 1/Sqrt[E]) (1/4 E^(-((I \[Pi])/10)) + 
      1/4 E^((I \[Pi])/10))^2, 
  1/4 E^(-(1/2) - (I \[Pi])/10) + 
   1/2 (1 - 1/Sqrt[E]) (1/4 E^(-((I \[Pi])/10)) + 
      1/4 E^((I \[Pi])/10)), 
  1/4 E^(-(1/2) - (I \[Pi])/10) + 
   1/2 (1 - 1/Sqrt[E]) (1/4 E^(-((I \[Pi])/10)) + 
      1/4 E^((I \[Pi])/10)), 1/4 (1 - 1/Sqrt[E]) + 1/(4 Sqrt[E])}}

que son quizás feos, pero ambos son hermitianos y positivos-semi-definidos.

Me pongo muy complejo $X$ ($X=densityTrace[\rho_1,\rho_2]=-0.0019613 + 0.393667 I$), ¡que no puede ser!

Sin embargo, si calculo primero las matrices numéricas, obtengo un resultado real $densityTrace[N[\rho_1],N[\rho_2]]=-0.0432473$ (?!)

He cambiado ligeramente la definición de densidad.

densityTrace[a_, b_] := Module[{λ, S, d},
{λ, S} = Eigensystem[b];
S = Transpose[S];
d = Diagonal[Inverse[S]. a. S];
Total @ MapThread[If[Chop[#1]==0,0,Chop[#1] Log[Chop[#2]]]&, {d, λ}]

]

(agregando Chop), para deshacerse de un pequeño "desperdicio" imaginario, ¿es una buena idea?

Answer 1

Tal vez puedas usar Eigensystempara transformar tu matriz singular$\rho_2$ dentro $S.d.S^{-1}$y luego use la propiedad cíclica de Tr. Es decir:

$$ \begin{align} \text{Tr}{\left(\rho_1 . \log(\rho_2) \right)}&= \text{Tr}{\left(\rho_1 . \log(S . d . S^{-1})\right)} \\ &= \text{Tr}{\left(\rho_1 . S . \log(d) . S^{-1} \right)}\\ &= \text{Tr}{\left(S^{-1} . \rho_1 . S . \log(d)\right)}\\ &= \text{Diagonal}{\left( S^{-1} . \rho_1 . S\right) . \log (d)} \end{align} $$

Algún código que implementa esta idea:

densityTrace[a_, b_] := Module[{λ, S, d},
    {λ, S} = Eigensystem[b];
    S = Transpose[S];
    d = Diagonal[Inverse[S]. a. S];
    Total @ MapThread[If[#1==0,0,#1 Log[#2]]&, {d, λ}]
]

Para sus matrices de ejemplo:

m1 = m2 = DiagonalMatrix[{.33, 0, .66}];
densityTrace[m1, m2]

-0,640099

Answer 2

Probablemente sea más fácil detectar la singularidad antes:

MatrixLogSafe[x_?SquareMatrixQ] /; Det[x] > 0 := MatrixLog[x];
MatrixLogSafe[x_?SquareMatrixQ] := ConstantArray[0, Dimensions[x]];

Podría estar equivocado sobre la condición exacta que necesita. En cualquier caso, no espero MatrixFunction[Piecewise[...]]que le sirva de mucho. Ni siquiera estoy seguro de qué # > 0se supone que debe hacer la condición en el interior MatrixFunction.