logaritmo de número complejo

Question

Generalmente para logaritmos Si tengo $2^4=16$ entonces significa $\log_2(16)=4$ (Aquí 2 es la base)

Entonces, el valor del logaritmo básicamente nos dice cuántas veces debemos multiplicar la base por el número.

Cuando tomamos ln, simplemente significa que la base es e

Ahora comienza mi pregunta

¿Cuál es el logaritmo de un número complejo?

Pensé que ya que el logaritmo nos dice cuántas veces debemos multiplicar la base. Si tomara el logaritmo obtendría números reales porque no importa el número, si los números reales se multiplican, la respuesta es real.

Pero el libro que tengo dice que es complejo e incluso tiene una derivación.

¿Alguien puede explicar logaritmos de números complejos relacionando reales o al menos compartir algunos recursos?

Gracias

Answer 1

Observe que un número complejo $z$ Se puede escribir como $$z=|z|e^{i\theta}$$

Dónde $|x|$ significa el módulo de $x$

Entonces, el logaritmo de $z$ sería

$$z=|z|e^{i\theta}\\ \log z=\log (|z|e^{i\theta})\\ \log z= \log{|z|+\log{e^{i\theta}}}\\ \log{z}=\log{|z|}+i\theta$$

Para el cálculo de $|z|$simplemente podemos usar el teorema de pitagórica. Para el cálculo de$\theta$ podemos usar el $\arctan \theta$ya que conocemos tanto el lado adyacente como el opuesto. Darse cuenta de$\theta$ no es solo una solución, porque $\tan{(\theta+2\pi n)}= \tan{\theta}$, por lo que en realidad obtenemos una rama de soluciones. A pesar de este hecho, usualmente usamos el principal, que es el que pertenece al conjunto$(-\pi,\pi]$