¿Mapa, inyección o ambos?

Question

Se nos da la relación $R$ Entre $\mathbb{N}$ y $\mathbb{N}$: $$ R\colon \mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}\colon n \mapsto n^3- 3n^2 - n $$ y se nos pregunta: es $R$ un mapa, biyección, inyección o sobreyección?

En primer lugar, está claro que no todos los números naturales $n$ tiene un mapeo correspondiente, por ejemplo, 1 mapearía a -3, que es $\notin \mathbb{N}$, de manera similar para 2 (que se asignaría a -6) y 3 (se asignaría a -2). En conclusión: no todos los elementos del conjunto fuente$\mathbb{N}$ tiene un elemento de destino asociado, y tampoco todos los elementos del conjunto de destino $\mathbb{N}$ tiene un elemento fuente asociado.

Esto descarta la biyección y la sobreyección. Debería ser una inyección, ya que cada elemento de destino tiene un elemento de origen único. Mi colega piensa que$R$es tanto un mapa como una inyección, ya que "todas las inyecciones son mapas". Sin embargo, creo que$R$no es un mapa, ya que no todos los elementos del conjunto de origen tienen un elemento de destino. Varias fuentes en Internet (y libros) parecen definir mapas e inyecciones como restringidos al dominio de$R$, en cuyo caso mi colega tiene razón en que las inyecciones son mapas.

Estamos atorados. ¿Quién de nosotros tiene razón?

EDITAR Estamos siguiendo las definiciones (¿no estándar?) De un curso de Matemática Discreta, que son las siguientes:

• Una relación entre dos conjuntos se llama mapeo si de cada elemento sale exactamente una flecha.
• Una relación se llama inyección si de cada elemento como máximo sale una flecha y en cada elemento como máximo llega una flecha.

Answer 1

Una relación (binaria) entre conjuntos $X$ y $Y$ no es más que un subconjunto del producto cartesiano $X × Y$. En tu pregunta tenemos$R \subset \mathbb N \times \mathbb N$. En mi opinión, es engañoso escribirlo de la forma$n \mapsto n^3- 3n^2 - n $, Preferiría escribir $$R = \{ (n,m) \in \mathbb N \times \mathbb N \mid m = n^3- 3n^2 - n \} .$$

Recomiendo echar un vistazo https://en.wikipedia.org/wiki/Binary_relation.

1. $R$ no es una función $\mathbb N \to \mathbb N$. Como ha mostrado, por$n = 1, 2,3$ no tenemos $m \in \mathbb N$ tal que $(n,m) \in R$. Sin embargo, podemos considerarlo como una función parcial, lo que significa que para cada$n \in \mathbb N$ tenemos como máximo uno $m \in \mathbb N$ tal que $(n,m) \in R$. La restricción$\mathbb N \setminus \{1, 2, 3\} \to \mathbb N$ es una función.

2. $R$es una relación inyectiva. Esto significa que si$(n, m) \in R$ y $(n', m) \in R$, luego $n = n'$. De hecho, considere la función$\phi : \mathbb R \to \mathbb R,\phi(x ) = x^3 -3x^2-x$. Su derivado$\phi'(x) = 3x^2 - 6x -1$ es positivo para $x > \xi = 1 + \sqrt{4/3}$, así $\phi$ está aumentando estrictamente en $(\xi,\infty)$. Ya que$ 4 > \xi$, obtenemos inyectividad.

3. $R$ no es una relacin sobreyectiva, lo que significa que existe $m \in \mathbb N$ tal para todos $n \in \mathbb N$ tenemos $(n,m) \notin R$. De hecho, tenemos$\phi(4)= 12, \phi(5) = 45$. Ya que$\phi$ está aumentando estrictamente en $(\xi,\infty)$, podemos tomar $m = 13$.

Answer 2

Yo diría que es un mapa (no bien definido) de $\mathbb{N}$ a $\mathbb{N}$ (ya que toma entradas de $\mathbb{N}$ y salidas al espacio objetivo $\mathbb{N}$). No es una inyección ya que ni siquiera está bien definida.

Pero es un mapa bien definido de $\mathbb{N}\setminus\{1,2,3\}$ a $\mathbb{N}$, de hecho es una inyección

Answer 3

En la definición que da al final de su publicación, tenemos que cada función inyectiva es una relación inyectiva, pero cada relación inyectiva no es una función inyectiva (la función inyectiva aquí significa una relación que es una función y una relación inyectiva).

Por ejemplo, deja $A=\{a,b,c\}$, $B=\{b,c\}$ y $R=\{(b,b),(c,c)\}\subset A\times B$ luego $R$ no es una función de $A$ a $B$ como no hay flecha saliendo de $a$ (el requisito de su definición de mapeo sería que hay una flecha que sale de $a$).

Por otro lado, de cada elemento de $A$ hay como máximo una flecha que sale (La frase "como máximo" sugiere que no se permite la salida de ninguna flecha) y también como máximo una flecha llega a cada elemento $B$ haciendo $R$ una relación inyectiva.

Resumen: Las inyecciones (en términos de relaciones) no siempre son mapeos.