Mapas entre objetos colimit
Dejar$\lbrace A_i \rbrace_{i\in I}$y$\lbrace B_j \rbrace_{j\in J}$ser dos diagramas en una categoría$\mathcal{C}$. Dejar$A=\text{colim}_{i\in I} A_i$y$B= \text{colim}_{j\in J} B_j$. Dados dos mapas$f,g: A\rightarrow B$, suponiendo que el coecualizador$C$existe, puede$C$presentarse en términos del colímite de un diagrama que consta de objetos$A_i$y$B_j$?
Respuestas
¡Es una conjetura tentadora pero falsa! Deja que todos los$A_i$y$B_i$ser copias de$\mathbb{Z}$en la categoría$\text{Ab}$de grupos abelianos y que ambos colímites sean coproductos. Entonces, cada grupo abeliano ocurre como un coecualizador de un par de mapas entre tales coproductos (esto dice exactamente que cada grupo abeliano tiene una presentación), pero no todos los grupos abelianos ocurren como un colímite de copias de$\mathbb{Z}$. Hice exactamente esta pregunta en MathOverflow hace un tiempo y obtuve una respuesta negativa muy informativa.
Déjame cambiar la notación. Dejar$X : \mathcal{I} \to \mathcal{C}$y$Y : \mathcal{J} \to \mathcal{C}$ser funtores, dejar$\mathcal{D}$ser la subcategoría completa de$\mathcal{C}$atravesado por las imágenes de$X : \mathcal{I} \to \mathcal{C}$y$Y : \mathcal{J} \to \mathcal{C}$, y deja$\bar{X} = \varinjlim_\mathcal{I} h_X$y$\bar{Y} = \varinjlim_\mathcal{J} h_Y$en$[\mathcal{D}^\textrm{op}, \textbf{Set}]$, donde definimos$h_T (S) = \mathcal{C} (S, T)$. Entonces,$$\textstyle [\mathcal{D}^\textrm{op}, \textbf{Set}](\bar{X}, \bar{Y}) \cong \varprojlim_\mathcal{I} \varinjlim_\mathcal{J} \mathcal{C}(X, Y)$$entonces un morfismo$f : \bar{X} \to \bar{Y}$se puede descomponer en una familia de morfismos$X (i) \to Y (j_i)$indexado por$i \in \operatorname{ob} \mathcal{I}$, módulo una determinada relación de equivalencia. Por otro lado, incluso si$X$y$Y$tiene colímites en$\mathcal{C}$, en el mejor de los casos solo podemos decir$$\textstyle \mathcal{C} \left( \varinjlim_\mathcal{I} X, \varinjlim_\mathcal{J} Y \right) \cong \varprojlim_\mathcal{I} \mathcal{C} \left( X, \varinjlim_\mathcal{J} Y \right)$$y aunque hay un mapa canónico de comparación$$\textstyle \varprojlim_\mathcal{I} \varinjlim_\mathcal{J} \mathcal{C}(X, Y) \to \varprojlim_\mathcal{I} \mathcal{C} \left( X, \varinjlim_\mathcal{J} Y \right)$$generalmente no es una biyección.
Si – este es un gran si – el par paralelo$\varinjlim_\mathcal{I} X \rightrightarrows \varinjlim_\mathcal{J} Y$en$\mathcal{C}$que le interesa se puede levantar a través de este mapa de comparación, entonces su coecualizador es un colímite de un diagrama construido a partir de$X$y$Y$.
De hecho, deja$f_0, f_1 : \bar{X} \to \bar{Y}$ser morfismos en$[\mathcal{D}^\textrm{op}, \textbf{Set}]$. Entonces podemos formar su coecualizador$\bar{Z}$en$[\mathcal{D}^\textrm{op}, \textbf{Set}]$. Hay un diagrama canónico.$R : \textbf{El} (\bar{Z}) \to \mathcal{D}$cuyo colímite en$[\mathcal{D}^\textrm{op}, \textbf{Set}]$es$\bar{Z}$. Explícitamente,$\textbf{El} (\bar{Z})$es la siguiente categoría:
- los objetos en$\textbf{El} (\bar{Z})$son pares$(D, z)$donde$D$es un objeto en$\mathcal{D}$y$z$es un elemento de$\bar{Z} (C)$.
- los morfismos$(D, z) \to (D', z')$en$\mathcal{K}$son los morfismos$g : D \to D'$en$\mathcal{D}$tal que$z' \cdot g = z$.
- La composición se hereda de$\mathcal{D}$.
Hay una proyección evidente$R : \textbf{El} (\bar{Z}) \to \mathcal{D}$y es sencillo comprobar que$\bar{Z} \cong \varinjlim_{\textbf{El} (\bar{Z})} h_R$. Yo reclamo:$\varinjlim_{\textbf{El} (\bar{Z})} R$es el coecualizador de$\varinjlim_\mathcal{I} X \rightrightarrows \varinjlim_\mathcal{J} Y$en$\mathcal{C}$, en el sentido fuerte de que$\varinjlim_{\textbf{El} (\bar{Z})} R$existe en$\mathcal{C}$si y solo si el coecualizador existe en$\mathcal{C}$y son isomorfos.
Dejar$\bar{\mathcal{D}}$ser la subcategoría completa de$\mathcal{C}$atravesado por los objetos$C$en$\mathcal{C}$tal que, para cada objeto$T$en$\mathcal{C}$, el mapa canónico (inducido por la restricción de la incrustación de Yoneda)$$\mathcal{C} (C, T) \to [\mathcal{D}^\textrm{op}, \textbf{Set}] (h_C, h_T)$$es una biyección. El lema habitual de Yoneda nos dice$\mathcal{D} \subseteq \bar{\mathcal{D}}$, pero, para cualquier diagrama$Z : \mathcal{K} \to \bar{\mathcal{D}}$,$$\textstyle \varprojlim_\mathcal{K} \mathcal{C} \left( Z, T \right) \cong \varprojlim_\mathcal{K} [\mathcal{D}^\textrm{op}, \textbf{Set}] \left( h_Z, h_T \right) \cong [\mathcal{D}^\textrm{op}, \textbf{Set}] \left( \varinjlim_\mathcal{K} h_Z, h_T \right)$$naturalmente en$T$, Así que si$\varinjlim_\mathcal{K} Z$existe en$\mathcal{C}$entonces también está en$\bar{\mathcal{D}}$- en breve,$\bar{\mathcal{D}}$es cerrado bajo colimits que existen en$\mathcal{C}$. En particular,$\varinjlim_\mathcal{I} X$y$\varinjlim_\mathcal{J} Y$están en$\bar{\mathcal{D}}$, y si el par paralelo$\varinjlim_\mathcal{I} X \rightrightarrows \varinjlim_\mathcal{J} Y$en$\mathcal{C}$tiene un coecualizador que el coecualizador también está en$\bar{\mathcal{D}}$. Esencialmente, la definición de$\bar{\mathcal{D}}$asegura que todo lo que se pueda probar sobre colimits iterados en$[\mathcal{D}^\textrm{op}, \textbf{Set}]$también es cierto en$\mathcal{C}$, siempre que todos los colímites involucrados se puedan realizar en$\bar{\mathcal{D}}$. Por lo tanto, si el par paralelo$\varinjlim_\mathcal{I} X \rightrightarrows \varinjlim_\mathcal{J} Y$en$\mathcal{C}$se puede elevar a un par paralelo$\bar{X} \rightrightarrows \bar{Y}$en$[\mathcal{D}^\textrm{op}, \textbf{Set}]$, entonces el coecualizador en$\mathcal{C}$se puede identificar con el colimit en$\mathcal{C}$de un diagrama en$\mathcal{D}$.
Puede valer la pena señalar que la representación de Yoneda$\bar{\mathcal{D}} \to [\mathcal{D}^\textrm{op}, \textbf{Set}]$puede que no sea totalmente fiel ni conserve los colímites... pero esto es solo reformular la advertencia en el primer párrafo.