Matrices binarias y similitud

Question

Considere el espacio de matrices cuadradas $\mathcal{B}$ que toman entradas de $\{0,1\}$. Me gustaria encontrar matrices ortogonales$Q$ tal que, para una matriz $B \in \mathcal{B}$, la matriz $Q^TBQ \in \mathcal{B}$. Es decir, la matriz$Q^TBQ$también es una matriz binaria. Los candidatos obvios para$Q$ son matrices de permutación.

¿Existen otras matrices ortogonales similares? Además, estoy pensando en otros casos en los que la matriz puede tomar entradas$\{-1,0,1\}$. Cómo encontrar parejas$(Q_1,Q_2)$ tal que $Q_1^TBQ_2 \in \mathcal{B}$. ¿Podría sugerir algunos recursos que podrían ayudarme a tener una idea de cómo hacer esto?

Answer 1

Caso 1 (donde $\mathcal{B}$ consta de matrices 0/1) se conservarán solo mediante matrices de permutación (es decir, este es el grupo de matrices ortogonales que estabilizan el conjunto $\mathcal{B}$). Para mostrar esto, suponga$Q$es una matriz ortogonal pero no una matriz de permutación. Al elegir una matriz adecuada en$\mathcal{B}$, puede verificar fácilmente que

1. Todas las entradas de $Q$ son 0/1.
2. Sin fila o columna de $Q$ tiene más de 1 entrada distinta de cero.

Para una matriz particular $B$, estas matrices enviarán $B$ a otra matriz en $\mathcal{B}$, por supuesto, y posiblemente otras matrices ortogonales también (al menos si $B= 0$ o si $B=J$, la matriz de todos unos, cualquier matriz ortogonal enviará $B \mapsto B$); tendrá que determinar esto de una manera ad-hoc (aunque podría valer la pena intentar demostrar que las matrices de permutación son las únicas que funcionan bajo supuestos adecuados sobre$B$; tal vez asumiendo$B$tiene rango de fila completo). La colección de todas estas matrices no necesariamente formará un grupo.

Para el caso 2 (donde las entradas de matrices en $\mathcal{B}$ estan en $\{0,\pm1\}$, Creo que será fácil demostrar que el grupo de matrices que estabilizan el conjunto $\mathcal{B}$ consistirá en matrices de permutación donde se permite que todas las entradas sean $\pm1$ modificando la parte 1 de las observaciones anteriores (aquí una media de matrices $Q = \mathrm{diag}(\pm1, \ldots, \pm1)P$, dónde $P$ es una matriz de permutación).

Editar: esto puede ser mucho más complicado si desea encontrar todos los pares$(Q_{1}, Q_{2})$ con $Q_{1} \neq Q_{2}$. O quizás no, no lo he intentado.